¿Existen condiciones necesarias y suficientes para la ergodicidad?

¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes (si las hay) para la ergodicidad (o no ergodicidad)?

Veo, por ejemplo, que algunos sistemas integrables no son ergódicos. Por ejemplo, una cadena lineal de osciladores armónicos puestos a oscilar en un determinado modo normal permanecerá en ese modo. Si agrego no linealidad, rompe la integrabilidad y (quizás) el sistema se vuelve ergódico. Por lo tanto, sospecho que conceptos como integrabilidad, caos y no linealidad están íntimamente relacionados con la ergodicidad. ¿Existe algún conjunto de condiciones que relacionen estos conceptos con la ergodicidad?

Si el sistema es hamiltoniano, entonces, el volumen del espacio de fase se conserva, por el teorema de Louiville. Por el teorema de recurrencia de Poincaré, tal sistema es ergódico: para cada conjunto abierto existen órbitas que intersecan el conjunto infinitas veces.
El teorema de recurrencia de @ Dr.IkjyotSinghKohli Poincare es más débil que la ergodicidad. Más precisamente: los supuestos del teorema de Poincaré no son suficientes para probar la ergodicidad.
@lcv sí. soy consciente ¡Solo estaba dando un ejemplo de la parte superior de mi cabeza! :)

Respuestas (1)

la integrabilidad, el caos y la no linealidad están íntimamente relacionados con la ergodicidad. ¿Existe algún conjunto de condiciones que relacionen estos conceptos con la ergodicidad?

Sí.

Para exhibir caos, un sistema debe ser no lineal : ya sea a través de un término explícitamente no lineal, o indirectamente, como cuando la no linealidad surge de una diferenciación parcial o un retraso de tiempo.

Ahora bien, en general, el caos y la imprevisibilidad son en realidad una cuestión de grado, más que una clara distinción entre sistemas caóticos y no caóticos. Eso está bien expresado por la jerarquía ergódica :

Bernoulli ⊃ Kolmogorov ⊃ mezclando ⊃ ergódico

donde omito los distintos grados de mezcla. Los sistemas de Bernoulli son los más caóticos, equivalentes a los mapas de desplazamiento. Los sistemas de Kolmogorov (a menudo simplemente sistemas K ) tienen exponentes de Lyapunov positivos y corresponden a lo que con mayor frecuencia se considera un sistema caótico . Los sistemas de mezcla (fuertemente) intuitivamente tienen el comportamiento implicado por su nombre y, aunque no necesariamente tienen trayectorias exponencialmente divergentes, hay un grado de imprevisibilidad que puede justificar llamarlos débilmente caóticos . Los sistemas ergódicos, por otro lado, tienen correlaciones de tiempo que no necesariamente decaen en absoluto, por lo que claramente no son caóticos.

Por lo tanto, si un sistema es caótico, necesariamente es ergódico. Pero se debe hacer una observación importante: mientras que la mayoría de los sistemas son caóticos, rara vez lo son en todo su espacio de fases. Por lo tanto, solemos restringir nuestra atención a las regiones accesibles. Cuando eso no es necesario, generalmente el calificador lo indica completamente (caótico, ergódico, etc.).

En cuanto a la pregunta del título:

¿Existen condiciones necesarias y suficientes para la ergodicidad?

Me temo que es una pregunta matemática y, lamentablemente, no parece existir ninguna condición además de las de las diferentes definiciones equivalentes de ergodicidad. Se pueden encontrar ejemplos concretos de pruebas de ergodicidad en los libros de texto de teoría ergódica (las notas de Charles Walkden sobre teoría ergódica están disponibles en línea ( pdf1 , pdf2 )).

¿Existen condiciones necesarias y suficientes para la ergodicidad?
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