¿Cómo utilizar correctamente la Teoría de la Perturbación en los sistemas clásicos?

Contexto: Si consideramos una partícula en movimiento ascendente cerca de la superficie de la Tierra y actuada por un arrastre cuadrático obtenemos el eom no lineal:

$$\frac{dv}{dt}=-g-\frac{b}{m}v^2.$$ Podemos resolverlo perturbativamente, $$v=v_{(0)} +\lambda v_{(1)}+\lambda^2 v_{(2)}+\dots,$$ dónde $\lambda=\frac{bv_0}{mg}$y $v_0$es la velocidad inicial. Resolviendo orden por orden obtenemos $$v=v_0-gt+\lambda\left( -gt+\frac{g^2t}{v_0}-\frac{g^3t^3}{3v_0^2}\right)+O(\lambda^2).$$

Ahora tratamos de aplicar ingenuamente el método a un movimiento armónico simple.

$$\ddot x+\omega_0^2x-\lambda\omega_0^2 x=0,$$ simplemente expandiendo $$x=x_0+\lambda x_1+\lambda^2 x_2+\ldots.$$ Con condiciones iniciales $x(0)=A$y $\dot x(0)=0$obtenemos la solución $$x(t)=A\cos(\omega_0t)+\frac{\lambda A\omega_0 t}{2}\sin(\omega_0 t)+O(\lambda^2),$$ lo cual no es aceptable debido al término secular creciente lineal (en el tiempo) .

Lo resolvemos mejorando el método. Permitimos que la frecuencia cambie,

$$\omega=\omega_0+\lambda\omega_1+\lambda^2\omega_2+\ldots,$$ y usa el truco de Lindsted-Poincaré . Luego nos deshacemos del término secular y obtenemos la primera corrección en la frecuencia de inmediato.

Sabíamos que la solución con el término secular no era físicamente aceptable porque sabemos que el movimiento del oscilador debe estar acotado. Además, podemos resolver fácilmente ese oscilador ya que es simplemente

$$\ddot x+\omega_0^2(1-\lambda)x=0,$$ cuya solución oscila armónicamente con la frecuencia $\omega_0\sqrt{1-\lambda}$.

Pregunta: Supongamos que tengo un sistema no lineal del cual no tengo suficiente intuición sobre su evolución (tal vez ni siquiera sé qué sistema físico describe). Entonces, ¿cómo sé si la teoría de la perturbación regular (esa ingenua) funcionará? ¿Hay algún criterio que indique si tendré que extender el método (como usar "trucos" como el de Lindsted-Poincaré)?

Referencias: Uno de los mejores materiales a nivel de pregrado que encontré es esta nota de clase . Discute cómo falla la teoría de la perturbación regular para un movimiento oscilatorio. Sin embargo, no responde a las preguntas que traje aquí. Otro lugar en el que he encontrado algo es el libro de Gregory sobre mecánica clásica. Sin embargo, encontré la discusión muy corta. Ahora tengo un libro de Dover sobre la teoría de la perturbación clásica que se ve muy bien, pero todavía estoy al principio.