Intuición física detrás del teorema de Poincaré-Bendixson

Una característica importante de las dinámicas caóticas es que son recurrentes, es decir, cualquier trayectoria eventualmente se acercará arbitrariamente a su punto de partida.

Supongamos que hay una dinámica caótica con tiempo continuo en un espacio de fase bidimensional. Miremos la trayectoria que comienza en algún punto A. Dado que la dinámica es recurrente, debe haber un punto B en la trayectoria que comienza en A que esté tan cerca que el flujo del espacio de fase no cambie de dirección en la línea desde A a B¹²:

Ahora, considere el ciclo cerrado por la trayectoria entre A y B (cian) y la línea de A a B (roja). La trayectoria quedará atrapada en cualquier lado de este bucle después de B: no puede cruzar la trayectoria porque las trayectorias no pueden intersecarse, y no puede cruzar la línea porque el flujo del espacio de fase va en la otra dirección. En el ejemplo anterior, la trayectoria está atrapada en el interior y, por lo tanto, tiene que entrar en espiral; pero también podría salir en espiral. De cualquier manera, la trayectoria nunca puede acercarse más a A que a B, lo que contradiría el requisito de recurrencia. Así, la única dinámica recurrente en dos dimensiones son las órbitas periódicas.

En tres dimensiones, las cosas son diferentes porque la trayectoria no puede dividir el espacio de fase en dos partes.

Para los sistemas de tiempo discreto, no hay trayectorias para empezar que puedan atrapar algo.

^{¹ Si no puede encontrar ese punto, el flujo del espacio de fase es discontinuo alrededor de A de una manera que no sucede en los sistemas físicos.
² Si B es idéntico a A, la dinámica es periódica y no caótica.}

No hay suficiente espacio para el caos en un flujo 2D.

Todo se reduce a que las soluciones del sistema son curvas 1D suaves en un espacio 2D: debido a la singularidad, estas curvas no pueden cruzarse (pueden encontrarse en puntos especiales [homoclínica o heteroclínica], pero solo asintóticamente), y eso limita fuertemente los posibles estados finales . Particularmente importante es el teorema de la curva de Jordan : si una solución se cierra sobre sí misma (formando un bucle/ciclo), divide el espacio en regiones internas y externas; y por lo tanto todas las soluciones adentro se quedan adentro, así que todo lo que puedes tener son puntos fijos, ciclos y espirales.

En los sistemas discretos, la trayectoria salta de un punto a otro, por lo que no existe tal restricción e incluso los mapas 1D pueden presentar caos.

En cada punto a lo largo de una trayectoria caótica, deben existir las siguientes tres direcciones:

• Una dirección del tiempo, a lo largo de la cual va la trayectoria.
• Una dirección de expansión, a lo largo de la cual el flujo del espacio de fase diverge, por lo que puede tener sensibilidad a las condiciones iniciales.
• Una dirección de contracción, a lo largo de la cual converge el flujo del espacio de fase, por lo que toda la dinámica permanece limitada y recurrente.

Estrictamente hablando, esto solo se cumple en promedio, por ejemplo, la dimensión en expansión puede estar convergiendo localmente debido a la forma en que se deforma el espacio de fase.

Dado que el flujo del espacio de fase es, bueno, un flujo localmente linealizable, estas direcciones deben ser linealmente independientes. Así cada dirección necesita su propia dimensión. Para los sistemas de tiempo discreto, esto ya no es válido: el estado no cambia en un flujo, sino que salta por todas partes entre pasos de tiempo.