¿Cuándo se puede escribir un sistema autónomo usando un hamiltoniano?

Question

¿Cuándo se puede escribir un sistema autónomo usando un hamiltoniano?

Física
sistemas-complejos
mecanica clasica
física-matemática
geometría diferencial
formalismo hamiltoniano

djbinder

Si tengo una serie autónoma de ecuaciones diferenciales

\begin{matrix} (1) & \frac{d X_{i}}{d t} = A_{i} (X_{1}, . . ., X_{norte}) \end{matrix}

$\tag{1} \frac{dx_i}{dt} ~=~ A_i(x_1,...,x_n)$ con la condición de que

\begin{matrix} (2) & \sum_{i = 1}^{norte} \frac{\partial A_{i}}{\partial X_{i}} = 0 \end{matrix}

$\tag{2} \sum_{i=1}^n\frac{\partial A_i}{\partial x_i}~=~0$ en todas las regiones del espacio de fases, ¿puede escribirse esto como un sistema hamiltoniano en términos de algunas coordenadas generalizadas de posición y momento?

qmecanico

Comentario a la pregunta (v1): tenga en cuenta que mientras que la ODE (1) es covariante bajo transformaciones de coordenadas, la condición libre de divergencia (2) no lo es, a menos que introduzcamos (y especifiquemos una opción de) una forma de volumen.

Respuestas (1)

¿Cuándo se puede escribir un sistema autónomo usando un hamiltoniano?

Comentario a la pregunta (v1): tenga en cuenta que mientras que la ODE (1) es covariante bajo transformaciones de coordenadas, la condición libre de divergencia (2) no lo es, a menos que introduzcamos (y especifiquemos una opción de) una forma de volumen.

qmecanico · Answer 1

Que se dé un $n$ -variedad dimensional $M$ con un campo vectorial suave $X\in \Gamma(TM)$ .
Si $(x^1, \ldots, x^n)$ son algunas coordenadas locales en $M$ , entonces el campo vectorial toma la forma
$\begin{matrix} (A) & X = X^{i} (X) \frac{\partial}{\partial X^{i}}, \end{matrix}$ $\tag{A} X~=~X^i(x)\frac{\partial}{\partial x^i},$ y uno puede estudiar la ODE autónoma de primer orden $\begin{matrix} (B) & \frac{d X^{i} (t)}{d t} = X^{i} (X (t)) . \end{matrix}$ $\tag{B} \frac{dx^i(t)}{dt}~=~ X^i(x(t)).$ Tenga en cuenta que la ODE (B) se transforma covariantemente bajo el cambio de coordenadas.
Si $X$ no se desvanece en un punto $p\in M$ , entonces uno puede elegir un vecindario de coordenadas locales $U\subseteq M$ de $p$ , con coordenadas locales $(y^1, \ldots, y^n)$ , de modo que
$\begin{matrix} (C) & X = \frac{\partial}{\partial y^{1}} . \end{matrix}$ $\tag{C} X~=~\frac{\partial}{\partial y^1}.$ Este procedimiento a veces se denomina estratificación o enderezamiento de un campo vectorial. Es un caso especial del teorema de Frobenius .
La ODE (B) entonces se convierte en
$\begin{matrix} (D) & \frac{d y^{i}}{d t} = d_{1}^{i} \end{matrix}$ $\tag{D} \frac{dy^i}{dt}~=~ \delta^i_1$ en el vecindario de coordenadas locales $U\subseteq M$ .
Si uno elige el corchete de Poisson de la manera obvia, es decir
$\begin{matrix} (MI) & {y^{i}, y^{2}}_{PAG B} = d_{1}^{i}, etc., \end{matrix}$ $\tag{E}\{y^i,y^2\}_{PB}~=~\delta^i_1,\qquad \text{etc},$ entonces uno puede traer la ODE (D) en forma hamiltoniana $\begin{matrix} (F) & \frac{d y^{i}}{d t} = {y^{i}, y^{2}}_{PAG B} \end{matrix}$ $\tag{F} \frac{dy^i}{dt}~=~ \{ y^i, y^2\}_{PB}$ en el vecindario de coordenadas locales $U\subseteq M$ .
Si la dimensión $n$ es par, entonces el corchete de Poisson (E) puede elegirse para que no sea degenerado.
La cuestión de la existencia de una formulación hamiltoniana global es mucho más sutil, incluso para $n=2$ . Consulte también, por ejemplo, este y este Phys.SE relacionado.

¿Qué tipo de condiciones se requerirían para la existencia de una formulación hamiltoniana global? ¿Supongo que la analiticidad de los A_i(x) no sería suficiente?
La analiticidad del campo vectorial no es suficiente, cf. por ejemplo, el contraejemplo 6 en mi respuesta Phys.SE aquí .
Para la pregunta relacionada sobre si existe una función de energía conservada (en lugar de una formulación hamiltoniana completa), consulte esta publicación de Phys.SE.

¿Cuándo se puede escribir un sistema autónomo usando un hamiltoniano?

djbinder

qmecanico

Respuestas (1)

qmecanico

djbinder

qmecanico

qmecanico

Intuición sobre los mapas de momento

Acción del momento conjugado sobre TMTMTM y forma explícita

¿La cantidad de movimiento es un vector cotangente?

Estructura simpléctica e isomorfismos

Interesante sistema hamiltoniano [duplicado]

¿Cuáles son las ecuaciones de Hamilton con respecto a una forma simpléctica no estándar?

Conexión entre corchetes de Poisson y forma simpléctica

¿Cuál es la intuición física para las estructuras simplécticas?

¿Por qué el espacio de fase de un péndulo simple está definido en un cilindro y no en T2T2\mathbb{T}^{2}?

Una pregunta sobre las trayectorias de partículas en el formalismo de variedad simpléctica