Órbitas gravitacionales cerradas y sistemas de gradiente

Question

Órbitas gravitacionales cerradas y sistemas de gradiente

Física
movimiento orbital
sistemas-complejos
sistemas no lineales
mecanica clasica

curioso

Actualmente estoy estudiando dinámica no lineal en mi tiempo libre. Uno de los teoremas del material es que los sistemas que se pueden escribir como problemas de gradiente no pueden tener órbitas cerradas, es decir, sistemas como

\begin{matrix} (1) & \dot{X} = - \nabla V . \end{matrix}

$\dot{x}=-\nabla V.\tag{1}$

¿No es esta la forma general de un sistema gravitacional con $V$ siendo el potencial gravitatorio (u otros sistemas conservativos) y $x$ siendo el impulso? ¿Qué me estoy perdiendo aquí, sabiendo que tales problemas (gravedad y similares) a menudo tienen órbitas cerradas?

Consulte esto como referencia http://www.cds.caltech.edu/archive/help/uploads/wiki/files/224/cds140b-perorb.pdf

probablemente_alguien

¿No suele ser la fuerza , en lugar del impulso, lo que es proporcional al gradiente de potencial? Si es así, entonces el sistema gravitatorio debería ser de la forma

\ddot{x} = - \nabla V

$\ddot{x}=-\nabla V$ , no

\dot{x} = - \nabla V

$\dot{x}=-\nabla V$ .

curioso

Estoy tomando x=mv como el impulso. x no es la posición. Por lo tanto, la tasa de cambio del impulso

(\dot{x})

$(\dot{x})$ es la fuerza que viene dada por el gradiente de potencial. ¿Me he perdido algo?

probablemente_alguien

Para ser coherente con la definición de sistema de gradiente (consulte, por ejemplo, cds.caltech.edu/archive/help/uploads/wiki/files/224/… ), su sistema debe tener la forma

\dot{x} = - \nabla V (x)

$\dot{x}=-\nabla V(x)$ , por lo que su potencial depende del impulso si

x

$x$ es impulso. Esto claramente no es equivalente a un sistema gravitacional, donde

V

$V$ depende de la posición. Esta es la razón por la que omitir los argumentos de las funciones a veces es peligroso.

curioso

Sabía que me estaba perdiendo algo, pero no podía entender nuestro qué. Muchas gracias

Respuestas (2)

Órbitas gravitacionales cerradas y sistemas de gradiente

¿No suele ser la fuerza , en lugar del impulso, lo que es proporcional al gradiente de potencial? Si es así, entonces el sistema gravitatorio debería ser de la forma $\ddot{x}=-\nabla V$ , no $\dot{x}=-\nabla V$ .
Estoy tomando x=mv como el impulso. x no es la posición. Por lo tanto, la tasa de cambio del impulso $(\dot{x})$ es la fuerza que viene dada por el gradiente de potencial. ¿Me he perdido algo?
Para ser coherente con la definición de sistema de gradiente (consulte, por ejemplo, cds.caltech.edu/archive/help/uploads/wiki/files/224/… ), su sistema debe tener la forma $\dot{x}=-\nabla V(x)$ , por lo que su potencial depende del impulso si $x$ es impulso. Esto claramente no es equivalente a un sistema gravitacional, donde $V$ depende de la posición. Esta es la razón por la que omitir los argumentos de las funciones a veces es peligroso.
Sabía que me estaba perdiendo algo, pero no podía entender nuestro qué. Muchas gracias

qmecanico · Answer 1

ecuación de OP (1) es la mecánica aristotélica
$\begin{matrix} (A) & metro {\dot{q}}^{i} = - \frac{\partial V (q)}{\partial q^{i}} \Rightarrow V_{i} - V_{F} = 2 \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t {mi}_{k i norte} \end{matrix}$ $m\dot{q}^i~=~-\frac{\partial V(q)}{\partial q^i} \qquad\Rightarrow\qquad V_i-V_f ~=~2 \int_{t_i}^{t_f} \! \mathrm{d}t ~E_{{\rm kin}} \tag{A}$ Esto es disipativo. No existen $^1$ órbitas cerradas.
En contraste, la mecánica newtoniana
$\begin{matrix} (NORTE) & metro {\ddot{q}}^{i} = - \frac{\partial V (q)}{\partial q^{i}} \Rightarrow V_{i} + {mi}_{k i norte, i} = V_{F} + {mi}_{k i norte, F} \end{matrix}$ $m\ddot{q}^i~=~-\frac{\partial V(q)}{\partial q^i}\qquad\Rightarrow\qquad V_i+E_{{\rm kin},i} ~=~ V_f+E_{{\rm kin},f} \tag{N}$ conserva la energía mecánica para las fuerzas conservativas.

--

$^1$ Demostración indirecta de una línea: una órbita cerrada significaría que la LHS de la segunda igualdad en la ec. (A) es cero, pero la RHS es claramente positiva. Contradicción. $\Box$

probablemente_alguien · Answer 2

Lo que te confunde es el hecho de que has omitido implícitamente el argumento de $V$ . La definición de sistema de gradiente ( http://www.cds.caltech.edu/archive/help/uploads/wiki/files/224/cds140b-perorb.pdf ) es tal que

\dot{X} = - \nabla V (X)

$\dot{x}=-\nabla V(x)$

así que si defines $x$ para ser cantidad de movimiento, entonces ahora tiene un potencial que depende de la cantidad de movimiento, que no es equivalente a un sistema gravitatorio (tiene un potencial que depende solo de la posición).

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curioso

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curioso

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Respuestas (2)

qmecanico

probablemente_alguien

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