El polinomio P(x)P(x)P(x) tiene nnn raíces reales en el intervalo [a,b][a,b][a,b]. Demuestre que la derivada (n−1)st(n−1)st(n-1)^{st} tiene al menos una raíz en el intervalo [a,b][a,b][a,b].

Pista: deja$x_1,...,x_n$ser las raíces de$P$, el teorema de Rolle implica que existe una raíz de$P'$entre$x_i$y$x_{i+1}$, entonces$P'$tiene$n-1$distintas raíces continúan recursivamente.

Esto es realmente falso. Dejar$a = -1$,$b=1$, y$P(x) = (x^2-1)(2x^2 + 1) = 2x^4 - x^2 -1$.$P$tiene exactamente dos raíces en$[a,b]$, pero$P'(x) = 8x^3 -2x = 8x(x-1/2)(x+1/2)$tiene tres raíces en$[a,b]$

Dado que las diferenciales del polinomio siempre existen, podemos usar el "Teorema del valor medio":

Para función diferenciable continua$f(x)$en$(a,b)$, existe al menos una$c$dónde$a < c < b$tal que$f’(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Ahora digamos que$P(x)$tiene$n$distintas raíces reales en$(a,b)$cuales son$d_{1,1},d_{1,2},...,d_{1,n}$

El teorema del valor medio nos dice que habrá:

$d_{1,1} < d_{2,1} < d_{1,2}$tal que$P’(d_{2,1})=\frac{P(d_{1,2})-P(d_{1,1})}{d_{1,2}-d_{1,1}}=0$

$d_{1,2} < d_{2,2} < d_{1,3}$tal que$P’(d_{2,2})=\frac{P(d_{1,3})-P(d_{1,2})}{d_{1,3}-d_{1,2}}=0$

...

$d_{1,n-1} < d_{2,n-1} < d_{1,n}$tal que$P’(d_{2,n-1})=\frac{P(d_{1,n})-P(d_{1,n-1})}{d_{1,n}-d_{1,n-1}}=0$

Por lo tanto,$P’(x)$tiene$n-1$distintas raíces reales en$(a,b)$cuales son$d_{2,1},d_{2,2},...,d_{2,n-1}$.

Repitiendo, encontramos$P^{[2]}(x)$tiene$n-2$distintas raíces reales en$(a,b)$,$P^{[3]}(x)$tiene$n-3$,$P^{[4]}(x)$tiene$n-4$, etcétera.

¿Notas el patrón?

$P^{[k]}(x)$tiene$n-k$distintas raíces reales en$(a,b)$.