¿Cómo se ve el propagador de Klein-Gordon vestido en el espacio de posiciones?

solo use la representación espectral de Kallen-Lehmann : una vez transformada de Fourier en el espacio real, tiene una representación integral de las funciones de 2 puntos (ordenadas por tiempo)

$$\langle T\Phi(x_1)\Phi(x_2)\rangle=\int_0^\infty d\mu^2 \rho(\mu^2)\Delta(x_1-x_2;\mu^2)$$ dónde $\Delta(x;\mu^2)$es el propagador libre para un escalar de masa (al cuadrado) $\mu^2$, y $\rho(\mu^2)$es una distribución positiva que suma $1=\int_0^\infty d\mu^2 \rho(\mu^2)$y tiene una función delta en $\mu^2=m^2$si $\Phi$está asociado a algún estado de masa de la partícula $m$.

El propagador se ve:

$\Delta_{F}(t,\vec{x})=\frac{im}{4\pi^{2}\sqrt{|\vec{x}|^{2}-t^{2}}}K_{1}\Big(m\sqrt{|\vec{x}|^{2}-t^{2}} \Big)$

Donde K_{1} es una función de Bessel. Encontré este resultado en el libro Quantum Fiel Theory de Gerald Folland, allí también puedes encontrar otro propagador en el espacio de posición.