Teorema de Gelfand-Yaglom para determinantes funcionales

El usuario Simon ya ha dado una buena respuesta. Aquí esbozamos una derivación de la fórmula de Gelfand-Yaglom .

1. Sea dado un operador hamiltoniano autoadjunto

   $$H~=~H^{(0)}+V, \tag{1}$$ con niveles de energía discretos no degenerados$(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$, acotado por abajo, y no cero. De manera similar, el hamiltoniano libre$H^{(0)}$tiene niveles de energía discretos no degenerados$(\lambda^{(0)}_n)_{n\in\mathbb{N}}$, acotado por abajo, y no cero. (Un valor propio cero debe excluirse para tener una noción útil de determinante). Sea una función completa$f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$tener ceros simples en$(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$, es decir, es de la forma $$\begin{align}f(\lambda)~=~&(\lambda-\lambda_n)g_n(\lambda), \cr g_n(\lambda_n)~\neq~& 0.\end{align}\tag{2}$$ Más adelante veremos cómo se puede construir en la práctica tal$f$-función, cf. ecuaciones (16) y (26) a continuación. La función$^1$ $$\begin{align}({\rm Ln} f)^{\prime}(\lambda)~=~&\frac{f^{\prime}(\lambda)}{f(\lambda)}\cr ~\sim~&\frac{1}{\lambda-\lambda_n}+ \text{regular terms}\end{align}\tag{3}$$ tiene residuo unitario $${\rm Res}(({\rm Ln} f)^{\prime},\lambda=\lambda_n)~\stackrel{(3)}{=}~1\tag{4}$$ a$\lambda=\lambda_n$.

2. Ahora usa la regularización de la función zeta

   $$\begin{align} \zeta_H(s)~=~&\sum_{n\in\mathbb{N}} \lambda_n^{-s}\cr ~\stackrel{(4)}{=}~& \int_{\gamma_+}\!\frac{d\lambda}{2\pi i} \exp\left(-s{\rm Ln}\lambda\right)~({\rm Ln} f)^{\prime}(\lambda) ,\tag{5}\cr -\zeta^{\prime}_H(s)~\stackrel{(5)}{=}~& \sum_{n\in\mathbb{N}} \lambda_n^{-s}~{\rm Ln}\lambda_n ,\tag{6}\end{align}$$ donde el contorno$\gamma_+$se representa en la Fig. 1.

   

   $\uparrow$Fig. 1: Contorno de integración original$\gamma_+$en el complejo$\lambda$plano. Los puntos negros representan los niveles de energía discretos distintos de cero$(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$. (Fig. tomada de la Ref. 2.)

3. Para los problemas 1D Sturm-Liouville que tenemos en mente,

   $$\lambda_n~\sim~ {\cal O}(n^2)\quad\text{for}\quad n~\to~ \infty,\tag{7}$$ de modo que las ecs. (5) y (6) normalmente solo son válidos para${\rm Re}(s)>\frac{1}{2}$. Esto no es lo suficientemente bueno ya que el determinante regularizado por la función zeta se define a través de la continuación analítica hasta el punto$s=0$: $$\begin{align} {\rm Ln} {\rm Det} H ~=~&{\rm Ln} \prod_{n\in\mathbb{N}}\lambda_n\cr ~=~&\sum_{n\in\mathbb{N}} {\rm Ln} \lambda_n\cr ~\stackrel{(6)}{=}~& -\zeta^{\prime}_H(s=0) .\end{align}\tag{8}$$ Para grandes energías$\lambda \to \infty$, el potencial$V$no debe importar, por lo que $$\frac{f(\lambda)}{f^{(0)}(\lambda)}~\longrightarrow~ 1 \quad\text{for}\quad |\lambda|~\to~ \infty.\tag{9}$$ La idea es, en cambio, estudiar la diferencia entre la teoría completa y libre: $$\begin{align} \zeta_H(s)&-\zeta_{H^{(0)}}(s)\cr ~\stackrel{(5)}{=}~&\int_{\gamma_+}\!\frac{d\lambda}{2\pi i} \exp\left(-s{\rm Ln}\lambda\right)~({\rm Ln} \frac{f}{f^{(0)}})^{\prime}(\lambda).\end{align}\tag{10}$$

   

   $\uparrow$Fig. 2: Contorno de integración deformado$\gamma_-$en el complejo$\lambda$plano. La media línea negra en un ángulo.$\theta$en el semiplano superior denota el corte de rama del logaritmo complejo. Los puntos negros representan los niveles de energía discretos distintos de cero$(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$y$(\lambda^{(0)}_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

4. A continuación deformamos el contorno de integración$\gamma_+$dentro$\gamma_-$, cf. Figura 2.

   $$\begin{align} \zeta_H(s)&-\zeta_{H^{(0)}}(s) \cr ~\stackrel{(10)}{=}~&\int_{\gamma_-}\!\frac{d\lambda}{2\pi i} \exp\left(-s{\rm Ln}\lambda\right)~({\rm Ln} \frac{f}{f^{(0)}})^{\prime}(\lambda) \cr ~=~&\left(\int_{e^{i\theta}\infty}^0\!e^{-i\theta s}+\int_0^{e^{i\theta}\infty}\!e^{-i(\theta-2\pi) s} \right)\cr &|\lambda|^{-s}~({\rm Ln} \frac{f}{f^{(0)}})^{\prime}(\lambda) \frac{d\lambda}{2\pi i} \cr ~=~&e^{i(\pi -\theta) s} \frac{\sin(\pi s)}{\pi}\cr &\int_{e^{i\theta}\mathbb{R}_+}\!d\lambda~ |\lambda|^{-s}~({\rm Ln} \frac{f}{f^{(0)}})^{\prime}(\lambda) .\end{align}\tag{11}$$ Escritura de diferenciación.$s$rendimientos: $$\begin{align} \zeta^{\prime}_H(s)&-\zeta^{\prime}_{H^{(0)}}(s)\cr~\stackrel{(11)}{=}~& e^{i(\pi -\theta) s}\cos(\pi s)\cr &\int_{e^{i\theta}\mathbb{R}_+}\!d\lambda~ |\lambda|^{-s}~({\rm Ln} \frac{f}{f^{(0)}})^{\prime}(\lambda)\cr &+o(s).\end{align}\tag{12}$$ El determinante regularizado en función zeta es $$\begin{align}{\rm Ln}&\frac{{\rm Det} H}{{\rm Det} H^{(0)}}\cr ~\stackrel{(8)+(12)}{=}&~ -\int_{e^{i\theta}\mathbb{R}_+}\!d\lambda~ ({\rm Ln} \frac{f}{f^{(0)}})^{\prime}(\lambda)~\cr \stackrel{(9)}{=}~~& {\rm Ln} \frac{f(\lambda=0)}{f^{(0)}(\lambda=0)} , \end{align}\tag{13}$$ cual es la formula de Gelfand-Yaglom

   $$\frac{{\rm Det} H}{{\rm Det} H^{(0)}}~\stackrel{(13)}{=}~ \frac{f(\lambda=0)}{f^{(0)}(\lambda=0)}. \tag{14}$$

   Dado que los requisitos (2) a la$f$-función son invariantes de escala, un resultado relativo (14) es lo mejor que podríamos esperar.

5. Aplicación principal: Considere el TISE 1D en el intervalo finito$a\leq x\leq b$con condiciones de contorno de Dirichlet, con libre$^2$hamiltoniano

   $$H^{(0)} ~=~-\frac{\hbar^2}{2}\frac{d}{dx}m(x)^{-1}\frac{d}{dx}. \tag{15}$$ los$f$-función se elige como $$f(\lambda)~=~\psi_{\lambda}(x=b),\tag{16}$$ dónde$\psi_{\lambda}(x)$es la única solución al problema de valor inicial $$\begin{align} H\psi_{\lambda}~=~&\lambda\psi_{\lambda}, \cr \psi_{\lambda}(x=a)~=~&0,\cr \psi^{\prime}_{\lambda}(x=a)~=~&C\cr ~=~&\text{some fixed constant}.\end{align}\tag{17}$$

6. Ejemplo: potencial constante$V(x)=V_0$y masa constante$m(x)=m_0$. Los valores propios de energía discretos para el pozo cuadrado infinito son

   $$\begin{align} \lambda_n~=~&\lambda^{(0)}_n+V_0, \cr \lambda^{(0)}_n~=~&\frac{(\pi\hbar n)^2}{2m_0(b-a)^2}, \cr n~\in~&\mathbb{N}.\end{align}\tag{18}$$ El determinante regularizado en función zeta se convierte en$^3$ $$\begin{align} {\rm Det} H~=~&\frac{2}{\sqrt{V_0}}\sinh\left(\frac{\sqrt{2m_0V_0}}{\hbar}(b-a)\right), \cr {\rm Det} H^{(0)}~=~&\frac{2\sqrt{2m_0}}{\hbar}(b-a).\end{align}\tag{19}$$ Por otra parte $$\begin{align}\psi_{\lambda}(x)~=~&C\frac{\hbar }{\sqrt{2m_0(\lambda-V_0)}}\cr &\sin\left(\frac{\sqrt{2m_0(\lambda-V_0)}}{\hbar}(x-a)\right),\end{align}\tag{20}$$ de modo que $$\begin{align}\psi_{\lambda=0}(x=b)~=~&C\frac{\hbar}{\sqrt{2m_0V_0}}\cr &\sinh\left(\frac{\sqrt{2m_0V_0}}{\hbar}(b-a)\right), \cr \psi^{(0)}_{\lambda=0}(x=b)~=~&C(b-a) .\end{align}\tag{21}$$ ecuaciones (19) y (21) deben compararse con la fórmula de Gelfand-Yaglom (14).

7. Aplicación principal modificada. Considere nuevamente el hamiltoniano libre (15). Dejar$\phi_{\lambda}(x)$sea ​​una función propia del hamiltoniano completo (1):

   $$\begin{align} H\phi_{\lambda}~=~&\lambda\phi_{\lambda}, \cr \phi_{\lambda}(x=a)~\neq~&0.\end{align}\tag{22}$$ Definir $$\psi_{\lambda}(x)~:=~\phi_{\lambda}(x)\int_a^x\! dx^{\prime} \frac{m(x^{\prime})}{\phi_{\lambda}(x^{\prime})^2}. \tag{23}$$ Entonces se puede demostrar que (23) es una función propia independiente $$\begin{align} H\psi_{\lambda}~=~&\lambda\psi_{\lambda}, \cr \psi_{\lambda}(x=a)~=~&0.\end{align}\tag{24}$$ El wronskiano es $$\begin{align} W(\phi_{\lambda},\psi_{\lambda})~=~&\phi_{\lambda}\psi^{\prime}_{\lambda}-\phi^{\prime}_{\lambda}\psi_{\lambda}\cr~=~&m(x).\end{align} \tag{25}$$ los$f$-la función ahora se elige como $$\begin{align} f(\lambda)~=~~&\phi_{\lambda}(a)\frac{m(x)}{W(\phi_{\lambda},\psi_{\lambda})}\psi_{\lambda}(b)\cr ~\stackrel{(23)+(25)}{=}&~ \phi_{\lambda}(a)\phi_{\lambda}(b)\int_a^b\! dx \frac{m(x)}{\phi_{\lambda}(x)^2}.\end{align}\tag{26}$$ La fórmula del medio en la ec. (26) es independiente de$\phi_{\lambda}$y$\psi_{\lambda}$ecuaciones satisfactorias. (22) y (24).

Referencias:

1. GV Dunne, Determinantes funcionales en QFT, notas de conferencias, 2009; Cap. 5. PDF y PDF .

2. K. Kirsten y AJ McKane, J.Phys. A37 (2004) 4649 , arXiv:math-ph/0403050 .

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$^1$ ${\rm Ln}$denota el complejo$\ln$función :${\rm Ln}(\lambda)=\ln|\lambda|+i{\rm Arg}(\lambda)$. Elegimos la sucursal${\rm Arg}(\lambda)\in]\theta\!-\!2\pi,\theta[$, donde se corta la rama$\theta\in]0,\pi[$se encuentra en el semiplano superior.

$^2$El hamiltoniano (15) en esta respuesta se llama libre , por razones semánticas, incluso si la partícula, estrictamente hablando, no es libre cuando la masa$m(x)$se permite que dependa de la posición$x$.

$^3$Usa las conocidas fórmulas de regularización

Estuve en una charla hace un tiempo de Gerald Dunne donde habló sobre el teorema de Gelfand-Yaglom. Lo usó para calcular algunas acciones efectivas tipo Euler-Heisenberg. Un artículo suyo con Hyunsoo Min sobre el tema es Un comentario sobre el teorema de Gelfand-Yaglom, las funciones zeta y los núcleos de calor para los hamiltonianos simétricos de PT y tiene algunas notas de clase agradables: Determinantes funcionales en la teoría cuántica de campos (también vea una descripción más amplia conjunto de conferencias del mismo nombre).

Básicamente, es una forma de calcular el determinante de un operador unidimensional$\det(H)=\prod_i \lambda_i$sin calcular, y mucho menos multiplicar, ninguno de sus valores propios$H \psi_i = \lambda_i \psi_i$.

Para enunciar el teorema original: suponga que tiene un operador de Schrödinger (o hamiltoniano)$H = -\frac{d^2}{d x^2} + V(x)$en el intervalo$x\in[0,L]$con condiciones de contorno de Dirichlet:

Este resultado básico se puede generalizar a condiciones de contorno más generales, sistemas acoplados de ODE y ODE lineales de orden superior.

1. En esta respuesta, nos gustaría comparar la fórmula de Gelfand-Yaglom con una evaluación integral de trayectoria de un determinante funcional, cf. por ejemplo, ref. 1. Considere la acción

   $$\begin{align} S~=~& \int_{t_i}^{t_f}\! dt~L, \cr L~=~&\frac{m(t)}{2}\dot{q}^2-V, \cr V~=~&\frac{k(t)}{2}q^2 , \end{align} \tag{1}$$ para un oscilador armónico 1D donde la masa$m(t)$y la constante del resorte$k(t)$puede depender explícitamente del tiempo$t$. La integral de amplitud/ núcleo /camino de Feynman
   $$\begin{align}\langle q_f\!=\!0,& t_f | q_i\!=\!0,t_i \rangle \cr ~=~& \int_{q(t_i)=0}^{q(t_f)=0} \! {\cal D}q~\exp\left(\frac{i}{\hbar} S\right),\cr\cr &\qquad\qquad\qquad {\cal D}q~\sim~\prod_{t_i <t< t_f} dq(t) , \cr~\stackrel{\begin{array}{c}\text{int. by} \cr\text{parts}\end{array}}{=}&~ \int_{q(t_i)=0}^{q(t_f)=0} \! {\cal D}q~\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\int\! dt~ q(t) ~\hat{H} q(t)\right)\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{Wick.} \cr\text{rot.}\end{array}}{=}&~ \int \! {\cal D}q\exp\left[-\frac{1}{2\hbar}\iint_{[\tau_i,\tau_f]^2} d\tau~d\tau^{\prime} ~q(\tau)H(\tau,\tau^{\prime})q(\tau^{\prime}) \right]\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{Gauss.} \cr\text{ int.}\end{array}}{=}&~ {\rm Det}\hat{H}^{-1/2}\end{align}\tag{2}$$ se convierte en un determinante funcional a través de la integración de Gauss . En principio, podemos rotar Wick al tiempo euclidiano. $$\tau ~=~it \tag{3}$$ para hacer el operador hessiano $$\begin{align}\hat{H}~:=~& \underbrace{\frac{d}{dt}m(t)\frac{d}{dt}}_{~=:~\hat{H}^{(0)}}+k(t)\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&-\frac{d}{d\tau}m(\tau)\frac{d}{d\tau}+k(\tau)\cr ~>~&0\end{align}\tag{4}$$ positivo definitivo. Sin embargo, trabajaremos principalmente con el tiempo de Minkowski.$t$. En la ec. (2) los elementos de la matriz de la lectura hessiana euclidiana $$H(\tau,\tau^{\prime}) ~:=~\hat{H}\delta(\tau-\tau^{\prime}).\tag{5}$$

2. Dejar$\phi_0(t)$sea ​​una solución de modo cero para la EDO homogénea de segundo orden

   $$\begin{align}\hat{H}\phi_0~=~&0, \cr \phi_0(t=t_i)~\neq~& 0.\end{align} \tag{6}$$ Introducir para conveniencia posterior la notación abreviada $$\begin{align} \Phi_0~:=~&{\rm Ln}\phi_0, \cr \dot{\Phi}_0~=~&\frac{\dot{\phi}_0}{\phi_0}. \end{align}\tag{7}$$
   Entonces el término potencial (1) se puede integrar por partes: $$\begin{align} V~\stackrel{(1)}{=}~&\frac{k(t)}{2}q^2\cr ~\stackrel{(6)}{=}~&-\frac{q^2}{2\phi_0} \frac{d(m(t)\dot{\phi}_0)}{dt}\cr ~\stackrel{(7)}{=}~&m(t)\dot{\Phi}_0q\dot{q}- \frac{m(t)}{2}\dot{\Phi}_0^2q^2\cr &-\frac{d}{dt}\left(\frac{m(t)}{2}\dot{\Phi}_0q^2\right).\end{align} \tag{8}$$ Tenga en cuenta que el término derivado total (8) desaparece debido a las condiciones de contorno de Dirichlet (BC). La acción (1) se convierte en $$\begin{align} S~\stackrel{(1)+(8)}{=}&~\int_{t_i}^{t_f}\! dt~L^{\prime} ,\cr L^{\prime}~=~~&\frac{m(t)}{2} \left(\dot{q}- \dot{\Phi}_0q\right)^2. \end{align}\tag{9}$$

3. Ahora realice una transformación de coordenadas no local

   $$\begin{align}Q(t)~=~&q(t)\cr &-\int_{t_i}^{t_f}\! dt^{\prime} ~\theta(t-t^{\prime})~ \dot{\Phi}_0(t^{\prime})q(t^{\prime}), \end{align}\tag{10}$$ de modo que $$\begin{align} \dot{Q} ~\stackrel{(10)}{=}~& \dot{q} - \dot{\Phi}_0q\cr ~\stackrel{(7)}{=}~& \phi_0\frac{d}{dt}\left(\frac{q}{\phi_0}\right)\end{align} \tag{11}$$ para convertir el Lagrangiano (9) en un Lagrangiano libre
   $$L^{\prime}~\stackrel{(9)+(11)}{=}~\frac{m(t)}{2} \dot{Q}^2. \tag{12}$$

4. La matriz jacobiana se convierte en

   $$\begin{align}\frac{\delta Q(t)}{\delta q(t^{\prime})} ~\stackrel{(10)}{=}~&\delta(t-t^{\prime}) - B(t,t^{\prime}), \cr B(t,t^{\prime}) ~:=~&\theta(t-t^{\prime})~ \dot{\Phi}_0(t^{\prime}), \end{align}\tag{13}$$ a través de la diferenciación funcional $$\frac{\delta q(t)}{\delta q(t^{\prime})}~=~\delta(t-t^{\prime}). \tag{14}$$ el rastro es $$\begin{align}{\rm Tr} (B) ~=~&\iint_{[t_i,t_f]^2}\!dt~dt^{\prime}~\delta(t-t^{\prime}) B(t,t^{\prime}) \cr ~=~&\int_{[t_i,t_f]}\!dt~ B(t,t) \cr ~\stackrel{(13)}{=}~&\frac{1}{2}(\Phi_0(t_f)-\Phi_0(t_i))\cr ~\stackrel{(7)}{=}~&\frac{1}{2}{\rm Ln} \frac{\phi_0(t_f)}{\phi_0(t_i)}. \end{align}\tag{15}$$ Las huellas superiores se desvanecen $$\begin{align}{\rm Tr} (B^2)~=~&\iiint_{[t_i,t_f]^3}\!dt~dt^{\prime}~dt^{\prime\prime}~\delta(t-t^{\prime\prime}) B(t,t^{\prime})B(t^{\prime},t^{\prime\prime}) \cr ~=~&\iint_{[t_i,t_f]^2}\!dt~dt^{\prime} ~B(t,t^{\prime})B(t^{\prime},t)\cr ~\stackrel{(13)}{=}~&\frac{1}{4}\iint_{[t_i,t_f]^2}\!dt~dt^{\prime}\delta_{t,t^{\prime}} \dot{\Phi}_0(t^{\prime}) \dot{\Phi}_0(t)\cr ~=~&0, \end{align}\tag{16}$$ $${\rm Tr} (B^{n\geq 2})~=~0, \tag{17}$$ porque la función delta de Kronecker$\delta_{t,t^{\prime}}$desaparece en casi todas partes . Entonces el factor jacobiano es $$\begin{align} J~:=~& {\rm Det} \left(\frac{\delta q}{\delta Q}\right)\cr ~=~&{\rm Det} \left(\frac{\delta Q}{\delta q}\right)^{-1}\cr ~\stackrel{(13)}{=}~&{\rm Det}(1-B)^{-1}\cr ~=~&\exp\left(-{\rm Tr}{\rm Ln}(1-B)\right) \cr ~=~&\exp\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\rm Tr} (B^n)}{n}\cr ~\stackrel{(17)}{=}~&\exp{\rm Tr} (B)\cr ~\stackrel{(15)}{=}~&\sqrt{\frac{\phi_0(t_f)}{\phi_0(t_i)}}. \end{align}\tag{18}$$

5. La transformación inversa de coordenadas es

   $$\frac{q(t)}{\phi_0(t)} ~\stackrel{(11)}{=}~\int_{t_i}^{t_f}\! dt^{\prime} ~\theta(t-t^{\prime})~\frac{\dot{Q}(t^{\prime})}{\phi_0(t^{\prime})}. \tag{19}$$ Implementemos el Dirichlet BC final $$\begin{align}0~\approx~&q(t_f)\cr ~\stackrel{(19)}{=}~&\phi_0(t_f)\int_{t_i}^{t_f}\! dt ~\frac{\dot{Q}(t)}{\phi_0(t)} \end{align}\tag{20}$$ con un multiplicador de Lagrange $\lambda$. La nueva acción se convierte en $$\begin{align} S^{\prime}~=~~&S+\lambda q(t_f)\cr ~\stackrel{(12)+(20)}{=}&~ \int_{t_i}^{t_f}\! dt~L^{\prime\prime} ,\cr L^{\prime\prime}~=~&\frac{m(t)}{2}\dot{Q}^2 + \lambda \phi_0(t_f) \frac{\dot{Q}}{\phi_0},\end{align} \tag{21}$$ y la integral de amplitud/núcleo/ruta de Feynman se convierte en $$\begin{align}\langle q_f\!=\!0,& t_f | q_i\!=\!0,t_i \rangle \cr ~=~& \int_{q(t_i)=0} \! {\cal D}q~\frac{d\lambda}{2\pi\hbar}\exp\left(\frac{i}{\hbar} S^{\prime}\right)\cr ~=~& J\int_{Q(t_i)=0} \! {\cal D}Q~\frac{d\lambda}{2\pi\hbar}\exp\left(\frac{i}{\hbar} S^{\prime}\right).\end{align} \tag{22}$$

6. A continuación, realice una segunda transformación de coordenadas

   $$\begin{align}\tilde{q}(t)~=~&Q(t)\cr &+ \lambda\phi_0(t_f) \int_{t_i}^{t_f}\! dt^{\prime} ~\theta(t-t^{\prime})~ \frac{1}{m(t^{\prime})\phi_0(t^{\prime})} , \end{align}\tag{23}$$ de modo que $$\dot{\tilde{q}}~\stackrel{(23)}{=}\dot{Q} + \frac{\lambda\phi_0(t_f)}{m(t)\phi_0} \tag{24}$$ para simplificar la acción $$\begin{align} S^{\prime}~\stackrel{(21)+(24)}{=}&~ \int_{t_i}^{t_f}\! dt~L^{\prime\prime\prime} \cr &-\frac{\lambda^2\phi_0(t_f)^2}{2} \int_{t_i}^{t_f}\! \frac{dt}{m(t)\phi_0(t)^2}, \cr L^{\prime\prime\prime}~=~&\frac{m(t)}{2}\dot{\tilde{q}}^2 .\end{align}\tag{25}$$ Tenga en cuenta que ambas transformaciones de coordenadas (10) y (23) no cambian el Dirichlet BC inicial $$\begin{align}q(t_i)~\approx~&0\cr \quad\stackrel{(10)}{\Leftrightarrow}\quad Q(t_i)~\approx~&0 \cr \quad\stackrel{(23)}{\Leftrightarrow}\quad {\tilde{q}}(t_i)~\approx~&0,\end{align} \tag{26}$$ y el jacobiano para las segundas transformaciones de coordenadas (23) es trivial. (La segunda transformación (23) es un cambio/traslación pura).

7. La integración de Gauss sobre el multiplicador de Lagrange$\lambda$rendimientos

   $$\begin{align}&\langle q_f\!=\!0, t_f | q_i\!=\!0,t_i \rangle\cr ~\stackrel{(22)}{=}~&J\int_{\tilde{q}(t_i)=0} \! {\cal D}{\tilde{q}}~\frac{d\lambda}{2\pi\hbar}~\exp\left(\frac{i}{\hbar} S^{\prime}\right)\cr ~\stackrel{(25)}{=}~&J\left( 2\pi i\hbar ~\phi_0(t_f)^2 \int_{t_i}^{t_f}\! \frac{dt}{m(t)\phi_0(t)^2} \right)^{-1/2}\cr &\int_{\tilde{q}(t_i)=0} \! {\cal D}\tilde{q}~\exp\left(\frac{i}{\hbar} \int_{t_i}^{t_f}\! dt~L^{\prime\prime\prime}\right)\cr ~\stackrel{(18)}{=}~&\left( 2\pi i\hbar ~\phi_0(t_i)\phi_0(t_f)\int_{t_i}^{t_f}\! \frac{dt}{m(t)\phi_0(t)^2} \right)^{-1/2}\cr &\underbrace{ \int \! d\tilde{q}_f~\langle \tilde{q}_f, t_f | \tilde{q}_i\!=\!0,t_i \rangle^{(0)}}_{~=~1.} .\end{align} \tag{27}$$ Recuerde que el cuadrado absoluto del último factor en la ec. (27) tiene una interpretación física en QM como la probabilidad (=100%) de que una partícula libre que comienza en la posición$\tilde{q}_i\!=\!0$termina en alguna parte, cf. por ejemplo , esto . (Alternativamente, no es difícil realizar la integral de trayectoria para la partícula libre directamente $$\begin{align}\langle q_f, t_f |q_i,t_i \rangle^{(0)} ~=~& \left(2\pi i \hbar\int_{t_i}^{t_f}\! \frac{dt}{m(t)}\right)^{-1/2} \cr &\exp\left( \frac{i}{2\hbar} \frac{(\Delta q)^2}{\int_{t_i}^{t_f}\! \frac{dt}{m(t)}} \right), \cr \Delta q~:=~&q_f-q_i,\end{align}\tag{28}$$ y una integración gaussiana de la ec. (28) más$q_f$produce claramente 1.) En total, la evaluación de la integral de trayectoria produce el determinante funcional

   $${\rm Det}\hat{H}~\stackrel{(2)+(3)+(27)}{=}~ 2\pi i \hbar ~\phi_0(t_i)\underbrace{\phi_0(t_f)\int_{t_i}^{t_f}\! \frac{dt}{m(t)\phi_0(t)^2}}_{~=:~\psi_0(t_f)}. \tag{29}$$

   La expresión final (29) concuerda con la fórmula de Gelfand-Yaglom, cf. ecuaciones (14) y (26) en mi otra respuesta en este hilo. La teoría libre correspondiente tiene un modo propio cero constante$\phi^{(0)}_0(t)\equiv 1$, de modo que la superposición libre viene dada por la fórmula

   $$\begin{align}\langle q_f\!=\!0, t_f | q_i\!=\!0,t_i \rangle^{(0)}~=~&{\rm Det}(\hat{H}^{(0)})^{-1/2}, \cr {\rm Det}\hat{H}^{(0)} ~=~&2\pi i\hbar \int_{t_i}^{t_f}\! \frac{dt}{m(t)}.\end{align} \tag{30}$$ ecuación (30) es consistente con la ec. (28) y la conocida amplitud/núcleo de Feynman para una partícula libre.

Referencias:

1. R. Rajaraman, Solitons and Instantons: An Intro to Solitons and Instantons in QFT, 1987; Apéndice A.

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1. Otra aplicación de la fórmula de Gelfand-Yaglom es el determinante de van Vleck :

   $$\begin{align}\langle q_f,& t_f | q_i,t_i \rangle \cr ~=~& \int_{q(t_i)=q_i}^{q(t_f)=q_f} \! {\cal D}q~\exp\left(\frac{i}{\hbar} S[q]\right)\cr ~\sim~&\sqrt{\det\left(\frac{-1}{2\pi i \hbar}\frac{\partial^2 S_{\rm cl}}{\partial q_f \partial q_i} \right)} \exp\left(\frac{i}{\hbar} S_{\rm cl}\right) \cr &\quad\text{for}\quad \hbar~\to~0, \end{align}\tag{1}$$

   dónde

   $$S[q]~:=~ \int_{t_i}^{t_f}\! dt ~ L(q(t),\dot{q}(t),t) \tag{2}$$ es la acción fuera de la cáscara funcional, y $$S_{\rm cl}~:=~S[q_{\rm cl}] \tag{3}$$ es la función de acción de Dirichlet on-shell para un camino clásico$q_{\rm cl}:[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$. (En esta respuesta, asumimos por simplicidad que el camino clásico existe y es único, es decir, no hay instantes).

2. Ejemplo: El oscilador armónico

   $$L~=~\frac{m}{2}\dot{q}^2 -\frac{m}{2}\omega^2 q^2 \tag{4}$$ tiene camino clásico $$\begin{align} q_{\rm cl}(t)~=~&\frac{q_f\sin \omega (t-t_i)+q_i\sin \omega (t_f-t)}{\sin (\omega \Delta t)}, \cr \Delta t~:=~&t_f-t_i, \end{align}\tag{5}$$ acción en el caparazón $$S_{\rm cl}~\stackrel{(4)+(5)}{=}~m\omega\frac{(q_f^2+q_i^2)\cos(\omega\Delta t)-2q_fq_i}{2\sin(\omega\Delta t)}, \tag{6}$$ y amplitud/ núcleo de Feynman $$\begin{align}\langle q_f,& t_f | q_i,t_i \rangle\cr ~\stackrel{(1)+(6)}{=}&~\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i \hbar\sin(\omega\Delta t)}} \exp\left(\frac{i}{\hbar} S_{\rm cl}\right).\end{align}\tag{7}$$ ¡Es notable que la amplitud cuántica completa (7) se pueda derivar de la acción clásica en el caparazón (6) solo!

3. Prueba de la ec. (1) para 1D. En primer lugar, expanda el Lagrangiano a orden cuadrático en fluctuaciones$q=q_{\rm cl}+y$:

   $$\begin{align}L(q,\dot{q},t)~=~&L(q_{\rm cl},\dot{q}_{\rm cl},t) + L_1 \cr &+ L_2 + {\cal O}(y^3),\end{align}\tag{8}$$ $$\begin{align} L_1~:=~& p_{\rm cl}(t)\dot{y}+F_{\rm cl}(t)y~\stackrel{\begin{array}{c}\text{int. by} \cr\text{parts}\end{array}}{\sim}~0, \cr p_{\rm cl}(t)~:=~&\left. \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right|_{q=q_{\rm cl}(t)}, \cr F_{\rm cl}(t)~:=~&\left. \frac{\partial L}{\partial q}\right|_{q=q_{\rm cl}(t)},\end{align}\tag{9}$$ $$\begin{align} L_2~:=~~&\frac{m(t)}{2}\dot{y}^2+ b(t)y\dot{y} - \frac{k(t)}{2}y^2\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{int. by} \cr\text{parts}\end{array}}{\sim}&~ \frac{m(t)}{2}\dot{y}^2 - \frac{k(t)+\dot{b}(t)}{2}y^2 ,\end{align}\tag{10}$$ $$\begin{align} m(t)~:=~&\left. \frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^2}\right|_{q=q_{\rm cl}(t)}, \cr b(t)~:=~&\left.\frac{\partial^2 L}{\partial q~\partial \dot{q}}\right|_{q=q_{\rm cl}(t)}, \cr k(t)~:=~&-\left.\frac{\partial^2 L}{\partial q^2}\right|_{q=q_{\rm cl}(t)}. \end{align}\tag{11}$$ En la ec. (10) el$b$-el termino se integra por partes. Los términos de contorno desaparecen debido a las condiciones de contorno de Dirichlet (BC)$y(t_i)=0=y(t_f)$. En segundo lugar, expanda el impulso a un orden lineal en las fluctuaciones.$q=q_{\rm cl}+y$: $$\begin{align} p~:=~&\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\cr ~=~&p_{\rm cl}(t) +b(t)y+m(t)\dot{y} + {\cal O}(y^2).\end{align}\tag{12}$$

4. A continuación, utilice la aproximación de fase estacionaria/WKB para$\hbar \to 0$:

   $$\begin{align}\langle q_f,& t_f | q_i,t_i \rangle \cr ~=~& \int_{q(t_i)=q_i}^{q(t_f)=q_f} \! {\cal D}q~\exp\left(\frac{i}{\hbar} S[q]\right)\cr ~\stackrel{\text{WKB}}{\sim}&~ {\rm Det}\hat{H}^{-1/2} \exp\left(\frac{i}{\hbar} S_{\rm cl}\right) \cr ~\stackrel{(29)}{=}&~\left(2\pi i\hbar \phi_0(t_i)\psi_0(t_f) \right)^{-1/2}\exp\left(\frac{i}{\hbar} S_{\rm cl}\right),\end{align}\tag{13}$$ donde el operador Hessian lee $$\hat{H}~:=~\frac{d}{dt}m(t)\frac{d}{dt}+k(t) +\dot{b}(t).\tag{14}$$ En la última igualdad de la ec. (13) se utilizó la ec. (29) de mi otra respuesta en este hilo. Aquí$\phi_0$es un modo cero con$\phi_0(t_i)\neq 0$, y $$\begin{align} \psi_0(t)~:=~&\phi_0(t)\int_{t_i}^t\! \frac{dt^{\prime}}{m(t)\phi_0(t^{\prime})^2},\cr \psi_0(t)~=~&0,\end{align} \tag{15}$$ es un modo cero independiente, cf. la fórmula de Gelfand-Yaglom. Nótese para más adelante que el wronskiano es $$\begin{align} W(\phi_0,\psi_0) ~:=~&\phi_0\dot{\psi}_0-\dot{\phi}_0\psi_0\cr~=~&\frac{1}{m(t)}.\end{align} \tag{16}$$

5. Por otro lado, el impulso final$p_f$se puede encontrar a partir de la fórmula en el caparazón

   $$p_f ~=~ \frac{\partial S_{\rm cl}}{\partial q_f},\tag{17}$$ véase, por ejemplo, la ec. (11) en mi respuesta Phys.SE aquí . Por lo tanto, los$1\times 1$se puede encontrar la matriz de van Vleck $$\frac{\partial^2 S_{\rm cl}}{\partial q_f \partial q_i} ~\stackrel{(17)}{=}~\frac{\partial p_f}{ \partial q_i}\tag{18}$$ variando infinitesimalmente la posición inicial$\delta q_i= y(t_i)$para posición final fija$\delta q_f= y(t_f)=0$, y tal que el nuevo camino$q=q_{\rm cl}+y$es también una solución clásica. La ecuación EL. por el nuevo camino$q=q_{\rm cl}+y$(es decir, la ecuación EL linealizada para$y$) implica que la variación infinitesimal$y$es un modo cero$\hat{H}y=0$, es decir, una combinación lineal $$y(t)~=~A\phi_0(t)+ B\psi_0(t),\tag{19}$$ dónde$A$&$B$son 2 constantes infinitesimales determinadas por los BC de Dirichlet: $$\begin{align}\delta q_i~=~~~& y(t_i)\cr ~\stackrel{(15)+(19)}{=}&~A\phi_0(t_i)\cr\qquad\Downarrow&\qquad\cr A~=~&\frac{\delta q_i}{\phi_0(t_i)} ,\end{align}\tag{20}$$ $$\begin{align}0~=~&\delta q_f\cr ~=~ &y(t_f)\cr ~\stackrel{(19)}{=}~& A\phi_0(t_f)+B\psi_0(t_f) \cr\qquad\Downarrow&\qquad\cr B~=~&-A\frac{\phi_0(t_f)}{\psi_0(t_f)}\cr ~\stackrel{(20)}{=}~& -\frac{\delta q_i}{\phi_0(t_i)}\frac{\phi_0(t_f)}{\psi_0(t_f)} .\end{align}\tag{21}$$ El cambio en el impulso final es $$\begin{align}\delta p_f ~\stackrel{(12)}{=}~&m(t_f) \dot{y}(t_f)\cr ~\stackrel{(19)}{=}~&m(t_f)\left(A\dot{\phi}_0(t_f)+B\dot{\psi}_0(t_f)\right)\cr ~\stackrel{(21)}{=}~&m(t_f)A\left(\dot{\phi}_0(t_f)-\frac{\phi_0(t_f)}{\psi_0(t_f)}\dot{\psi}_0(t_f)\right)\cr ~\stackrel{(16)}{=}~&-\frac{A}{\psi_0(t_f)}\cr ~\stackrel{(20)}{=}~&-\frac{\delta q_i}{\phi_0(t_i) \psi_0(t_f)}.\end{align}\tag{22}$$ Por lo tanto $$\frac{\partial^2 S_{\rm cl}}{\partial q_f \partial q_i} ~\stackrel{(18)+(22)}{=}~ -\frac{1}{\phi_0(t_i) \psi_0(t_f)}.\tag{23}$$ Comparando ecs. (13) y (23) producen la fórmula de van Vleck buscada (1).$\Box$

Referencias:

1. BS DeWitt, El enfoque global de QFT, Vol. 1, 2003; Capítulo 14.

2. H. Kleinert, Path Integrals in QM, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 5.ª ed.; Sección 2.4.

3. M. Blau, Notas para QM (semi-)avanzado: El enfoque integral de ruta para QM ; aplicación. C.

4. R. Rattazzi, Lecture notes for QM IV: The Path Integral approach to QM ; Sección 3.1.