Regularización del laplaciano unidimensional

Descargo de responsabilidad: esta es una pregunta técnica sobre la regularización de determinantes funcionales que proviene de una persona con (relativamente) sólida formación en QFT, teoría de cuerdas e integrales de trayectoria, que desea comprender este tema aún mejor.

La mayoría de mis preguntas sobre este tema se han quedado sin respuesta. Sin embargo, sigo siendo optimista :)

Estoy tratando de seguir la derivación del libro de Polyakov llamado "Campos de calibre y cadenas". Deriva el propagador relativista de Klein-Gordon en la teoría euclidiana de primera cuantización dividida por la integral de trayectoria de Polyakov.

La integral funcional se toma sobre las geometrías intrínsecas (el espacio cociente de todas las métricas de línea de mundo$h(\tau)$sobre difeomorfismos$f(\tau)$; la medida en el espacio del cociente se denota$Dh/Df$) y sobre las incrustaciones de la línea de tiempo en el espacio-tiempo euclidiano de destino (que están codificadas por funciones de incrustación$X^{\mu}(\tau)$). El propagador hace

$$\tilde{G}(p) = \int \frac{Dh}{Df} \int DX \exp\left\{ -\frac{1}{2} \intop_{0}^{1} d\tau \sqrt{h(\tau)} \left[ h^{-1} \dot{X}^2(\tau)-\mu^2 \right] \right\}\cdot e^{ i\, p_{\mu} \,\cdot\, (X(1) - X(0))^{\mu} } = \frac{Z_R}{p^2 + \mu_R^2}.$$

En la primera parte de la derivación se adquiere la medida del espacio cociente

$$\int \frac{Dh}{Df} = \int \frac{dT}{\sqrt{T}} \cdot \sqrt{\det{\Delta}},$$

dónde

$$T[h] = \intop_0^1 d\tau \sqrt{h(\tau)}$$

es la longitud de la línea de mundo (la única invariante de la geometría riemanniana unidimensional) y el laplaciano unidimensional actúa sobre funciones$\omega: [0, T] \rightarrow [0, T]$como

$$\left( \Delta \omega \right) (t) = - \frac{d^2 \omega(t)}{dt^2}.$$

Esta parte la he reproducido con éxito.

La segunda parte es tomar el$DX$integral de trayectoria que es gaussiana:

$$\int DX \dots = \frac{(2\pi N) ^{ND/2}}{(T)^{ND/2}} \cdot \exp \left\{ \frac{T}{2} \left( p^2 + \mu^2 \right) \right\},$$

dónde$N$es un número de pasos en la discretización ($N = T / \Delta t$) y$D$es la dimensionalidad del espacio-tiempo. Esta parte también la he reproducido.

La parte final sería tomar la integral (numérica, unidimensional)

$$\tilde{G} (p) = \int \frac{dT}{\sqrt{T}} \cdot \sqrt{\det \Delta} \cdot \frac{(2\pi N) ^{ND/2}}{(T)^{ND/2}} \cdot \exp \left\{ \frac{T}{2} \left( p^2 + \mu^2 \right) \right\}.$$

Desde$\det \Delta$diverge tenemos que regularizarlo.

He tratado de escribir el producto de los valores propios de$\Delta$con un corte$\epsilon = N^{-1}$:

$$\det \Delta = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\pi n}{T} \right)^2 = \lim_{N \rightarrow \infty} \pi^n T^{-N} \cdot \Gamma(N+1) = \pi ^{\frac{1}{\epsilon }} T^{-1/\epsilon } \exp \left(\frac{-\log (\epsilon )-1}{\epsilon }+\frac{1}{2} \log \left(\frac{2 \pi }{\epsilon }\right)+O\left(\epsilon ^1\right)\right) = u(\epsilon) \cdot \exp \left\{\epsilon ^{-1} \log T \right\}$$

dónde$u(\epsilon)$es algo$T$-factor divergente independiente. El problema con esta expresión es que da un propagador incorrecto.

Polyakov, en cambio, usa un regularizador que no entiendo:

$$\log \det \Delta = - \intop_{\epsilon^2}^{\infty} \frac{d\tau}{\tau} \sum_n e^{-\tau \lambda_n},$$

dónde$\lambda_n = (\pi n / T)^2$son valores propios distintos de cero de$\Delta$. Esta regularización da una forma correcta de$\tilde{G}(p)$(con el factor de normalización global$Z$y la masa$\mu$renormalizado), que en mi nivel actual de comprensión considero un milagro.

He pensado un poco en esta pregunta, y la explicación más prometedora del fracaso de mi regularización y el éxito de la regularización de Polyakov (aparte del hecho de que él es mucho más inteligente que yo, por supuesto) es que podría usar diferentes$\epsilon = N^{-1}$en las regularizaciones del determinante y del$DX$integral de trayectoria que me daría un resultado general incorrecto.

Tengo las siguientes dos preguntas:

1. ¿Es correcto suponer que ahí radica el problema?

2. Incluso si lo es, todavía no entiendo cómo mostrar que su regularización usa la definición correcta de$N$(que coincide con el número de cortes utilizados en el$DX$integración) y el mío no.