Tensor de Einstein en las ecuaciones de Friedmann: ¿dónde está el c2c2c^2 que falta?

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Tensor de Einstein en las ecuaciones de Friedmann: ¿dónde está el c2c2c^2 que falta?

unidades
Física
cosmología
tensor-métrico
relatividad general
tensión-energía-momentum-tensor

Vicente

Me gustaría demostrar las diversas formas de las ecuaciones de Friedmann CON la $c^2$ factores Todo bien... aparte que me falta un $c^2$ factor en alguna parte.

En todo lo siguiente $\rho$ es la densidad de masa y no la densidad de energía $\rho_{E}=\rho c^2$

Si miramos la página en francés de wikipedia sobre las ecuaciones de Friedmann , según la demostración del último párrafo tenemos:

La ecuación de campo de Einstein: $G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$

El tensor de Einstein: $G_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} G_{00}&0&0&0 \\ 0&G_{ij}&0&0 \\ 0&0&G_{ij}&0 \\ 0&0&0&G_{ij} \end{pmatrix}$

El tensor Energía-Momento: $T_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} T_{00}&0&0&0 \\ 0&T_{ij}&0&0 \\ 0&0&T_{ij}&0 \\ 0&0&0&T_{ij} \end{pmatrix}$

con :

$G_{00} = 3H^2+3\frac{k}{a^2}c^2$

$G_{ij} = -\left(3\frac{H^2}{c^2}+2\frac{\dot{H}}{c^2}+\frac{k}{a^2}\right)$

$T_{00} = \rho c^2$

$T_{ij} = -P$

Pero : $T_{00}$ y $T_{ij}$ tienen la misma unidad física ( $P$ y $\rho c^2$ están en $kg.m^{-1}.s^{-2}$ ) mientras $G_{00}$ y $G_{ij}$ no tiene la misma unidad: en la primera tenemos $H^2$ y en la segunda tenemos $\frac{H^2}{c^2}$ por ejemplo.

Mi pregunta es : ¿hay un error en la demostración de wikipedia en francés? donde esta el desaparecido $c^2$ ? ¿Dónde puedo encontrar una buena demostración con el $c^2$ factores?

EDITAR: Tal vez he encontrado algo. Al comienzo de la demostración, el autor dice que la métrica es de la forma:

$ds^2=c^2dt-a^2\gamma_{ij} dx^i dx^j$

dónde $\gamma_{ij}$ depende de la elección de las coordenadas. Esta fórmula me parece bien.

Pero luego escribe que:

$g_{00} = c^2$

$g_{ij} = -a^2\gamma_{ij}$

tengo una duda sobre $g_{00}$ : es igual a $c^2$ o para $1$ ? De hecho, si elegimos escribir $g_{00} = c^2$ , después $T_{00} = \rho c^4$ ¿no es así?

usuario11547

No ofreceré una respuesta, solo el comentario de que si ve ecuaciones a las que les faltan constantes, entonces es probable que se hayan establecido en 1 y estén trabajando con unidades de Planck . Esta es definitivamente una fuente de confusión cuando los autores cambian sin previo aviso, o no lo dicen por adelantado.

Respuestas (4)

Tensor de Einstein en las ecuaciones de Friedmann: ¿dónde está el c2c2c^2 que falta?

No ofreceré una respuesta, solo el comentario de que si ve ecuaciones a las que les faltan constantes, entonces es probable que se hayan establecido en 1 y estén trabajando con unidades de Planck . Esta es definitivamente una fuente de confusión cuando los autores cambian sin previo aviso, o no lo dicen por adelantado.

Roberto McNees · Answer 1

Recientemente volví a derivar estas ecuaciones con todas las constantes dimensionales en su lugar. Su última declaración en la "Editar" es correcta: $T_{00} = \rho_{E}\,c^{2} = \rho\,c^{4}$ . Es fácil perder de vista los factores de $c$ en cálculos como este; el culpable habitual es mezclar $t$ y $x^{0} = c\,t$ , y $\partial_t$ y $\partial_0 = c^{-1}\,\partial_{t}$ . Por ejemplo, $g_{tt} = c^{2}\,g_{00}$ .

willie wong · Answer 2

En realidad, en el contexto de la relatividad general, $c$ no tiene unidad (física).

Más precisamente, $c$ es metro por segundo. El metro es una medida de longitud. La segunda es una medida de tiempo. En GR unificamos el espacio y el tiempo, y por lo tanto un metro y un segundo son unidades de medida diferentes para "la misma cosa". El número $c$ es un escalar puro que es solo un factor de conversión.

En términos de situaciones más cotidianas, considere la unidad "milímetros por metro". Esto no tiene unidad física y es un escalar puro que equivale a 1000. Representa un factor de conversión entre dos formas diferentes de medir la misma unidad física. $c$ es así en relatividad.

Ahora bien, si existen los números correctos de $c^2$ flotar es un tema diferente; Yo mismo no he comprobado los cálculos en Wiki, así que no puedo decir nada. Pero debido a la identificación del espacio y el tiempo, no se puede usar el análisis dimensional para comprobar si el número de $c$ s son correctos, ya que $c$ es esencialmente libre de dimensiones.

Misc.nerdiness · Answer 3

Estas ecuaciones a menudo se hacen en unidades donde c=1 para facilitar las cosas, en este caso:

C^{2} = 1

$c^2=1$

EnmascaradoMago · Answer 4

No entiendo la respuesta de Roberts basada en el análisis dimensional.

$T_{00}$ tiene dimensiones de densidad de energía. Lo estableció escribiendo $\rho_E$ que es una densidad de energía. Además, le asignó un factor de la velocidad de la luz al cuadrado como

T_{00} = ρ_{mi} C^{2}

$T_{00} = \rho_E c^2$

Para mí esto está mal. Bastante:

T_{00} = ρ_{mi} = ρ C^{2}

$T_{00} = \rho_E = \rho c^2$

Es correcto.

Ellos también justificaron

T_{00} = ρ C^{4}

$T_{00} = \rho c^4$

Por consecuencia defectuosa. Las dimensiones son simplemente incorrectas con respecto a las respuestas que se le han dado. La densidad de energía generalmente se define escribiéndola como una densidad de masa con un coeficiente de $c^2$ equilibrando las dimensiones adecuadas.

Donde este último se refiere a una densidad de masa. Así que no, los comentarios anteriores están mal y el artículo de la wiki es correcto.

Además, la densidad de energía y la presión tienen las mismas unidades, por lo que no hay contradicción en el artículo de wiki, como sugiere el OP.

Editar: también, $g_{00} =c^2$ es generalmente incorrecto. Las unidades son casi correctas (pero generalmente lo escribimos como $\phi$ ponderado por $c^2$ ), pero la métrica generalmente se escribe como

$g_{00} = -(1 + \frac{\phi}{c^2})$

Robert tiene razón sobre el seguimiento de la velocidad de la luz en el contexto de las derivadas parciales. Cuando se trata de un objeto que tiene dimensiones espaciales por un lado y tiempo por el otro, será necesario que esté fijado por el coeficiente de la velocidad de la luz en el componente espacial. Sin embargo, es más convencional simplemente poner un inverso de la velocidad de la luz en la parte temporal para que tenga unidades similares al espacio, así:

$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} = \frac{\partial^2}{\partial x^2}$

Los comentarios no son para una discusión extensa; esta conversación se ha movido a chat .

Tensor de Einstein en las ecuaciones de Friedmann: ¿dónde está el c2c2c^2 que falta?

Vicente

usuario11547

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Roberto McNees

willie wong

willie wong

Misc.nerdiness

EnmascaradoMago

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