¿La isotropía implica homogeneidad?

Cuando MTW dice que el universo es isotrópico, quiere decir que es isotrópico en todas partes , es decir, en todos los puntos del universo.

Es fácil construir universos que son isotrópicos en un solo punto y no homogéneos, por ejemplo, la sugerencia de CuriousOne de una bola con densidad que es una función de la distancia desde el centro. Sin embargo, esta pelota solo es isotrópica si estás en el centro de la pelota. Si necesita que la pelota sea isotrópica en todas partes, necesariamente necesita que sea homogénea.

MTW en realidad le da la respuesta (en una forma técnica) al ejercicio 27.1 en el párrafo justo encima del ejercicio al lado de la nota al margen:

La isotropía implica líneas de mundo fluido ortogonales a hipersuperficies homogéneas

Esto está estrechamente relacionado con el hecho de que en un espacio euclidiano, las traslaciones de coordenadas se pueden generar realizando dos rotaciones sucesivas alrededor de diferentes puntos, ya que la isotropía es esencialmente invariancia de rotación e invariancia de traslación de homogeneidad. Supongamos que tenemos una rotación$R(\vec{r}_0)$respecto a$\vec{r}_0$definido a través de la acción en cualquier punto$\vec{r}$como

$R(\vec{r}_0)\vec{r}=\vec{r}_0+R(\vec{r}-\vec{r}_0)$

Entonces claramente$R(\vec{r}_0)\vec{r}_0=\vec{r}_0$. Para simplificar, simplemente usamos$R$para denotar una rotación respecto al origen. Entonces para cualquier punto$\vec{r}$, dos rotaciones sucesivas alrededor del origen y$\vec{r}_0$respectivamente daría

$R^{-1}(\vec{r}_0)R\vec{r}=\vec{r}_0+R^{-1}(R\vec{r}-\vec{r}_0)=\vec{r}+(I-R^{-1})\vec{r}_0$

Entonces para cualquier traducción$\vec{a}$, podemos elegir el sistema de coordenadas tal que$\vec{a}=(a,0,0)$, luego establezca

$\displaystyle R^{-1}=\left(\begin{array}0 &-1&\\1&&\\&&1\\\end{array}\right)$

y$\vec{r}=(a/2,a/2,0)$, obtenemos

$\vec{r}+\vec{a}=\vec{r}+(I-R^{-1})\vec{r}_0=\vec{r}_0+R^{-1}(R\vec{r}-\vec{r}_0)=R^{-1}(\vec{r}_0)R\vec{r}$

Entonces, si el espacio es invariante bajo rotaciones con respecto a cualquier punto, será invariante bajo traslación. En espaciotiempos curvos, en lugar de rotaciones globales, necesitamos considerar vectores Killing. Y de manera similar, la existencia de vectores Killing para isotropía en cada punto implica la existencia de vectores Killing para homogeneidad. Para más detalles, véase el Capítulo 13 del extraordinario libro de Weinberg, Gravitation and Cosmology .

Unos años tarde aquí, pero creo que una forma clara de pensar sobre esto es que dos puntos cualesquiera del universo, A y B, estarán conectados por un gran círculo dibujado alrededor de C. Si el universo es isótropo en el punto C, entonces los puntos A y B deben verse iguales. Esta lógica puede extenderse entonces a dos puntos cualesquiera del universo.

Esta lógica se basa claramente en lo que señaló John Rennie, que el universo debe ser isotrópico en todas partes.