¿Cómo se escribe la segunda ley de Newton usando el lenguaje de las formas?

En mi opinión, la ecuación de Newton tiene más sentido como una ecuación de campos vectoriales. Dejar$(M,g)$ser una variedad (pseudo-) riemanniana con conexión riemanniana$\nabla$. Entonces las ecuaciones de movimiento para una fuerza conservativa dependiente de la posición$F$son dados por

$$m {}^{\gamma}\nabla_{\frac{d}{dt}} \frac{d\gamma}{dt}=F\circ \gamma=-(\nabla V) \circ \gamma,$$ dónde $\gamma: \mathbb{R} \supset I \to M$es la curva buscada, ${}^{\gamma}\nabla_{\frac{d}{dt}}$es el pullback de la conexión riemanniana, y $\nabla V$es el campo vectorial gradiente de $V$definido a través de $dV(\cdot)=g(\nabla V, \cdot)$.

Ahora, si desea escribir esto en términos de formas diferenciales, debe convertir${}^{\gamma}\nabla_{\frac{d}{dt}} \frac{d\gamma}{dt}$al lenguaje formal. ¿Consideras algo como

$$m (g\circ \gamma)({}^{\gamma}\nabla_{\frac{d}{dt}} \frac{d\gamma}{dt}, \cdot)=-(dV \circ \gamma)(\cdot)$$ como una ecuación para formas diferenciales a lo largo de $\gamma$¿natural? No lo hago, y no puedo ver una forma "natural" de evitar esto.

Puedes escribir

$$\text dV = - m v \text d v$$

dónde$v$es la velocidad.