¿Por qué el operador de masa y la fuerza externa toman valores en T∗MT∗MT^*M en este modelo?

Las responderé en un orden que hace que la exposición sea un poco más concisa.

2) El isomorfismo inducido por la estructura de Riemann

Tendrá que decir más sobre las definiciones que le dieron para explicar por qué está confundido. Son lo mismo, y dado que las usaré a lo largo de esta respuesta, lo escribiré para corregir la notación:

$$\begin{equation} \mu: TM \to T^*M ,~~ v \mapsto \langle v, \cdot\rangle \end{equation}$$

3) El morfismo del paquete :

Esta es la afirmación de que los siguientes viajes

$$\newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} TM & \ra{\mathcal F} & T^*M \\ \da{\pi_M} & & \da{\pi_{T^*M}}\\ M & \ra{Id} & M \\ \end{array}$$

Hay una mejor manera de decir esto. La categoría de haces vectoriales suaves,$\hat V$, admite un funtor$Forget$a la categoría$\hat{M}$de variedades suaves, el funtor actúa sobre objetos al proyectar al espacio base, y sobre morfismos al componer con los mapas de proyección. este funtor$\hat{V} \xrightarrow{Forget} \hat {M}$es una fibración grupoide$M$. Lo anterior dice entonces$\mathcal F \in Hom_{\hat V}(TM, T^*M)$es un morfismo que se encuentra sobre la identidad en la fibración grupoide.$Forget^{-1}(Id_M)$se dice que es la fibra sobre$M$, y es un grupoide. El enunciado es entonces simplemente$\mathcal F$vive en la fibra sobre$M$en este olvidar funtor. (Ejercicio: todo esto es bastante obvio, pero si no está familiarizado con estas construcciones, es un lindo ejercicio para comprobarlo).

Esto dice geométricamente que tiene un mapa suave que es "vertical", ya que actúa como la identidad cuando se restringe para ver el espacio base. La siguiente sección debe responder por qué desea esta propiedad.

1) El Operador Diferencial

Tomamos sugerencias de las respuestas más físicas en este hilo, y tenga en cuenta que, en general, desea describir su sistema mediante alguna función fluida.

$$\begin{equation} \mathcal L \in C^\infty(T^*M, \mathbb R) \end{equation}$$

Ahora el espacio tangente$T^*T^*M$admite un desdoblamiento natural dado por la secuencia exacta

$$\begin{equation} 0 \to T^*M \xrightarrow{z} T^*T^*M \xrightarrow{p} V(T^*M) \to 0 \end{equation}$$

dónde$z$es la sección 0 y$p$se da localmente por proyección a la fibra, la exactitud define el haz$V$. Hay un isomorfismo de haz natural

$$\varphi: V(T^*M) \to T^*M$$

( Ejercicio: compruebe esto, por ejemplo, comparando espacios tangentes en cada punto).

Ahora se supone que su fuerza es la sección dada por la composición de la siguiente secuencia

$$T^*M \xrightarrow{d\mathcal L} T^*T^*(M) \xrightarrow{p} V(M) \xrightarrow{\varphi}T^*M$$

Geométricamente es el componente "vertical/fibra" del diferencial de$\mathcal L$, naturalmente visto como un campo vectorial en el paquete cotangente. Ahora la versión que tiene es una versión que actúa sobre el paquete tangente, puede construirla precomponiendo el isomorfismo natural.

$$TM \xrightarrow{\mu} T^*M \xrightarrow{d\mathcal L} T^*T^*(M) \xrightarrow{p} V(M) \xrightarrow{\varphi}T^*M$$

Quiere esto porque en su fórmula de Newton quiere tomar un campo vectorial como argumento.

Para resumir, se supone que su fuerza está dada por lo siguiente, para alguna función suave$\mathcal L$

$$\begin{equation} \mathcal F \equiv \varphi \circ p \circ d\mathcal L \circ \mu: TM \to T^*M \end{equation}$$

Esto responde a la pregunta 1). Ahora volviendo a 3), simplemente observe que nos hemos proyectado a secciones verticales cuando aplicamos la proyección$p$.

Editar/Apéndice: conclusiones

Mientras caminaba a casa desde el pub donde escribí esto, comencé a preguntarme por qué (aparte de Bourbon) escribí tanto sobre algo que parece ser una confusión menor de notación/definición. Esto es lo que pienso:

Estamos viendo una ecuación diferencial de segundo orden en una variedad de Riemann. A priori el operador diferencial que lo define debería vivir en algún jet. Sin embargo, todos sabemos que podemos escribirlo como una ecuación de campos vectoriales en el paquete tangente. ¿Por qué?

De la discusión anterior, la propiedad crucial que hace esto posible es que el operador diferencial$\mathcal F$da una sección en todas partes vertical en el paquete. De manera similar, si la sección fuera horizontal en todas partes, el análisis vuelve a ser fácil porque nuevamente tenemos un isomorfismo del subhaz horizontal (alternativamente, solo observe que la inclusión es solo la sección 0, por lo que resolver esta ecuación diferencial debería ser fácil). Cualquier cosa que se desvíe de estos casos son obstrucciones para nuestra capacidad de escribir la ecuación diferencial en el paquete tangente. Esta es la conclusión importante aquí.

Bien,

1) por qué el operador de masa y la fuerza externa deben ser$T^∗M$-valorado;

Para el operador de masa, estas son solo las múltiples formas en que puede representar los productos tensoriales. Una métrica de Riemann en el punto$x\in M$es un mapa bilineal$T_xM\times T_xM\rightarrow\mathbb{R}$, por lo que si inserta un vector en un solo argumento, se convierte en un mapa$T_xM\rightarrow\mathbb{R}$, que es un elemento de$T^*_xM$. Así que mapea elementos de$T_xM$en elementos de$T^*_xM$. Cuando se extiende a todos los puntos, se convierte en un isomorfismo de fibra vectorial$TM\rightarrow T^*M$(este mapa respeta la fibración en el sentido de que si$\pi_{TM}(v)=x$, entonces$\pi_{T^*M}(\mu(v))=x$también).

Para la fuerza externa, esta es una formulación muy torpe, en mi opinión. La fuerza puede depender de posiciones, velocidades (y posiblemente del tiempo 'externo', pero lo ignoraré), por lo que es una función$\mathcal F:TM\rightarrow X$dónde$X$queda indeterminado por ahora. En un contexto menos general, donde config. el espacio es solo$\mathbb{R}^3$, la fuerza se entiende como un campo vectorial dependiente de la velocidad,$\mathbf{F}(x,v)$. Sin embargo, debe entenderse como una forma 1 porque el trabajo está dado por$W(c)=\int_cF=\int_c\sum_i F_idx^i$.

Sin embargo, en el contexto general de los espacios de configuración, rara vez definimos fuerzas, ya que preferimos trabajar con el formalismo lagrangiano o hamiltoniano, donde no hay fuerzas. Sin embargo, si queremos abstraer fuerzas, entonces debe entenderse que$X$debe ser un espacio que albergue objetos que puedan integrarse a lo largo de curvas (curvas de$M$), entonces$\mathcal{F}:TM\rightarrow T^*M$, dónde$\mathcal F$es de nuevo un morfismo de paquete (pero ahora ya no necesariamente un isomorfismo). Sin embargo en este caso$\mathcal{F}$no suele ser un mapa lineal fibrado, por lo que no debe entenderse como un campo tensor de tipo (0,2)$\mathcal F_{ij}$, sino como un$T^*M$función valorada en$TM$,$\mathcal F(x,v)_i$(como matemático, es posible que le moleste la notación de índice tensorial, pero creo que aquí ofrece claridad).

2) la relación entre$\mu$y el isomorfismo musical$\flat$solía bajar los índices usando$\langle\cdot,\cdot\rangle$, porque formalmente son lo mismo;

Ellos son iguales.

3) cómo interpretar la condición$\mathcal{F}(T_xM)\subseteq T^∗_xM$

Lo que hay que enfatizar aquí es que lo mismo$x\in M$aparece tanto en el espacio inicial como en el espacio de destino. Esto es para enfatizar que$\mathcal F$es un morfismo de haz de fibras, conserva las fibras, por lo que$\mathcal F(x,v)$toma valores en$T^*_xM$mientras$\mathcal{F}(y,u)$toma sus valores en$T^*_yM$.

Esto se debe a que 1) para calcular el trabajo a lo largo de un camino$c$usted toma$W(c)=\int_c\mathcal{F}(c(t),c'(t))$, que tiene sentido solo cuando$\mathcal{F}(c(t),c'(t))\in T^*_{c(t)}M$, 2) para dar sentido a la ecuación de Newton, porque$\mu(Dc'/dt(t))$es un elemento de$T^*_{c(t)}M$desde$\mu$es un morfismo de haz vectorial, entonces$\mathcal {F}(c(t),c'(t))$también debería estar en$T^*_{c(t)}M$.

1) por qué el operador de masa y la fuerza externa deben ser$T^*M$-valorado;

Podría decirse que esto tiene más que ver con la física que con la geometría (contraer el impulso con una dirección produce la 'cantidad de movimiento' en esa dirección, la curva integral sobre el covector del impulso relativista produce la acción, ...).

Pero tenga en cuenta que, geométricamente, esto nos permite derivar fuerzas de los potenciales (lo que abre el camino hacia las formulaciones hamiltoniana y lagragiana).

2) la relación entre$\mu$y el isomorfismo musical$\flat$solía bajar los índices usando$\langle \cdot,\cdot\rangle$, porque formalmente son lo mismo;

En este modelo en particular, son de hecho los mismos, aunque ese no es necesariamente el caso en general: si entiende las ecuaciones de Euler-Lagrange como newtonianas, el operador de masa estaría dado por la derivada de la fibra .

3) cómo interpretar la condición$\mathscr{F}(T_pM)\subseteq T_p^*M$.

Eso es solo compatibilidad con la fibración, es decir, la fuerza actúa en el mismo punto base.

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Aparte, también me gustaría señalar para qué necesitamos la derivada covariante: sin una conexión, la primera ley de Newton no tiene sentido (no hay noción de líneas rectas o velocidades constantes sin estructura adicional).

Geométricamente, si se trata de un sistema de segundo orden, la ecuación

$$c'' = 0$$

es incompatible con las condiciones iniciales

$$c' \not= 0$$

debido a la estructura de${\rm TT}M$, mientras

$${{\rm D}c' \over {\rm d}t} = 0$$

funciona bien.

Ok, déjame intentar una respuesta torpe. No consideraré las fuerzas que dependen de la velocidad como sugiere su texto.

Hay básicamente dos formas de formular la mecánica clásica, la ecuación de Newton y el formalismo de Lagrange. El formalismo de Lagrange es adecuado para extenderse a espacios curvos, así que vamos primero con el espacio plano:

Definir

$$L(q,\dot{q})= \frac{m}{2}\dot{q}^2 - V(q)$$ con $m$la masa de la partícula, $q$el vector de posición, $\dot{q}$el vector velocidad y $V$el potencial. Se ha observado si se toma un camino $q$con principio y fin fijos $q(t_1)=q_1$y $q(t_2)=q_2$y calcular $$S[q] = \int^{t_2}_{t_1} L(q(t),\dot{q}(t))\, dt$$ $S$siendo una función mapeando trayectorias a números; que la trayectoria real que toma una partícula está dada por la trayectoria en la que $S$alcanza un extremo. (con puntos iniciales y finales fijos) Las ecuaciones correspondientes se pueden obtener mediante un método llamado cálculo de variaciones. Esto conduce a las ecuaciones de Euler-Lagrange que son: $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i}$$ El lado derecho se llama fuerza y ​​puedes ver que en realidad es un elemento del espacio cotangencial (asigna direcciones a números) que son, por supuesto, la ecuación de Newton: $$\frac{d}{dt} (m\dot{q}_i) = - \frac{\partial V}{\partial q_i}$$ Hasta ahora, todo bien. Ahora, ¿cómo se puede generalizar la función de Lagrange a una variedad, de modo que sea escalar bajo la transformación de coordenadas? por el potencial $V$, no hay problema, para el término cinético necesitas un producto escalar, por lo que terminarías con (aquí $(q, \dot{q})$parametrizar el espacio tangencial) $$L(q, \dot{q})= \frac{m}{2} \langle\dot{q},\dot{q}\rangle -V(q)$$ Ahora puede optar por absorber el factor de $m$también en el producto escalar. Esto explica lo que $\mu$tiene que ver con la masa.

Ahora haciendo el mismo tipo de cálculo de variación (y usando$c$para$q$), deberías terminar con algo en la línea de

$$\frac{d}{dt}{\langle\dot{c}, \epsilon\rangle} = - dV(c) \cdot \epsilon$$ para todas las variaciones $\epsilon$. Ya que es para todos $\epsilon$, y el producto escalar es independiente del tiempo, esto es equivalente a $$\mu\left(\frac{d}{dt} \dot{c}\right) = F(c)$$ con $F(c):= -dV(c)$. Esto ya se ve muy similar a lo que tienes, excepto por $\dot{c}$en el $F$en tu fórmula. Supongo que están extendiendo esto también a las fuerzas que dependen de la velocidad (dado que el mapa tangencial contiene la posición, esta es una generalización)

Sí, es un poco incompleto, pero tal vez puedas ver de dónde vienen.

EDITAR: Este es el caso de una sola partícula (como estoy seguro de que habla su pregunta), si va a varias partículas, entonces$\langle\cdot,\cdot\rangle$tiene que mapear desde$TM^n \times TM^n$a$R$en cambio (también a veces llamado 'matriz de masa')