¿Dónde actúa la pseudo fuerza?

Al igual que la gravedad, las pseudofuerzas se aplican en todos los puntos de un cuerpo. En mecánica, cuando decimos que una fuerza distribuida "actúa" en un solo punto, queremos decir que realizar dicho reemplazo no cambia el par que actúa sobre el cuerpo como un todo. Que esto sea posible depende de la pseudofuerza.

• En un marco de aceleración uniforme, se puede considerar que la pseudofuerza actúa en el centro de masa del cuerpo, con fuerza$M \mathbf{a}$.
• En un marco que gira uniformemente, se puede considerar que la pseudofuerza centrífuga actúa en el centro de masa del cuerpo, con fuerza$M \omega^2 \mathbf{r}_{\mathrm{cm}}$.
• La fuerza de Coriolis generalmente no puede tratarse de esta manera. Por ejemplo, hay situaciones en las que la fuerza de Coriolis total desaparece, pero el par de Coriolis total no.

Las pseudofuerzas están determinadas por la aceleración del marco de referencia y generalmente actúan en todos los puntos del espacio. Para un marco de aceleración lineal, la pseudo-fuerza resultante es uniforme. Para un marco de referencia giratorio, la fuerza depende de cosas como la distancia desde el eje de rotación, la velocidad de rotación. La fuerza de Coriolis que actúa sobre una partícula puntual también depende de la velocidad de la partícula en relación con el marco giratorio, pero este efecto aún existe en todos los puntos del marco de referencia giratorio.

Si desea "condensar" estas fuerzas en puntos y momentos únicos para un objeto extenso, solo tiene que encontrar el promedio ponderado de estas cantidades como lo haría con cualquier otra carga distribuida. Tenga en cuenta que debe hacer esto por separado para fuerzas y pares; no es cierto en general que la media ponderada de los pares sea igual al par de la media ponderada de las fuerzas.

En un marco de referencia acelerado linealmente, la misma pseudo fuerza actúa uniformemente (en cualquier instante dado) sobre todas las partículas en un cuerpo extendido. Este conjunto de pseudo fuerzas se puede reemplazar por una sola fuerza que actúa en el centro de masa del cuerpo.

En un marco de referencia giratorio, las pseudofuerzas no serán uniformes, por lo que debe determinar la pseudofuerza que actúa sobre cada partícula individualmente y luego integrarla en todo el cuerpo como un todo.

No es coincidencia que esto sea paralelo al análisis del movimiento de un cuerpo extendido en un campo gravitacional uniforme o no uniforme.

Resumen

Considere un sistema de partículas, no necesariamente un cuerpo rígido, visto en un marco inercial. El movimiento de traslación (el cambio en el momento lineal total) se puede evaluar asumiendo que la masa total es una partícula ubicada en el centro de masa (CM) sobre la que actúa la fuerza externa total. El movimiento de rotación (el cambio en el momento angular) no se puede evaluar asumiendo que la fuerza externa total actúa en el CM.

Como se ve en un marco no inercial, se aplican las conclusiones anteriores, pero además de las fuerzas externas, se deben considerar fuerzas ficticias. El movimiento de traslación (el cambio en el momento lineal total) se puede evaluar asumiendo que la masa total es una partícula ubicada en el centro de masa (CM) sobre la que actúa la fuerza externa total más la fuerza ficticia total. El movimiento de rotación (el cambio en el momento angular) no se puede evaluar asumiendo que la fuerza externa total de la fuerza ficticia total actúa en el CM.

Aquí hay un ejemplo simple. Suponga que una barra rígida está sostenida por un pivote en su CM y sobre la que actúa una fuerza$F$, hacia abajo a distancias$d$a la derecha del CM. El CM es estacionario. Visto en el marco de inercia, esta fuerza produce un movimiento de rotación alrededor del CM. Ahora considere el movimiento como se ve en un marco giratorio no inercial en el que la barra está en reposo. En este marco, las fuerzas ficticias contrarrestan$F$fuerza para mantener la barra en reposo. Si se supusiera que las fuerzas ficticias actúan en el CM, no podrían mantener la barra estacionaria en el marco no inercial. Se puede suponer que ciertas fuerzas actúan en el CM. Se puede suponer que la fuerza de la gravedad y la fuerza ficticia que surge de la aceleración traslacional actúan en el CM. Considere que la barra rígida cae libremente con la gravedad como la única fuerza externa aplicada. En el marco de inercia, la barra cae pero no gira alrededor de su CM, ya que se puede suponer que la gravedad actúa en el CM. En el marco no inercial en el que la barra es el resto, la fuerza ficticia que mantiene estacionaria a la barra actúa en el CM y no hay rotación alrededor del CM.

A continuación se presenta una discusión más detallada sobre el movimiento de traslación y rotación.

Movimiento de traslación y rotación en marco inercial

Considere un sistema de partículas, no necesariamente un cuerpo rígido. Ver Figuras 1 y 2.

En un sistema inercial, el movimiento de traslación se puede evaluar suponiendo que la masa total se encuentra en el centro de masa (CM). El momento lineal total$\vec P = ∑_{i=1}^{k} m_i\vec v_i = M \vec V$dónde$m_i$es la masa de cada partícula con velocidad$\vec v_i$,$M = ∑_{i=1}^{k}m_i$es la masa total y$\vec V$es la velocidad del CM.$M \vec A = \vec F_{tot}{^{ext} }$dónde$\vec A$es la aceleración del CM y la fuerza externa total$\vec F_{tot}{^{ext}} = ∑_{i=1}^{k}\enspace \vec F_i^{\,ext}$es la suma de la fuerza externa neta sobre cada partícula.

El movimiento de rotación alrededor de un punto no se puede considerar asumiendo que la masa total se encuentra en el CM; el movimiento de rotación depende de las ubicaciones específicas del cuerpo donde se aplican las fuerzas externas. El momento angular total alrededor de un punto$Q$es$\vec L_Q = ∑_{i=1}^{k}\enspace \vec r_{iQ} \times m_i \vec v_i$, dónde$\vec r_{iQ}$es la posición de$i$con respecto a$Q$. El cambio en el momento angular del sistema con respecto a un punto$Q$es${d \vec L_Q \over dt} = \vec N_Q^{\,ext} - \vec v_Q \times \vec P$dónde$\vec v_Q$es la velocidad de$Q$y$\vec N_Q^{\,ext} = ∑_{i=1}^{k}\enspace \vec r_{IQ} \times \vec F_i^{\,ext}$es el par total de las fuerzas externas. [Kochmann] Si$Q$es elegido como el CM, el$\vec v_Q \times \vec P$término es cero. Solo para ciertas fuerzas, como la gravedad, se puede suponer que las fuerzas actúan en el CM para evaluar el movimiento de rotación.

Como se discutió posteriormente, conclusiones similares se mantienen en el sistema no inercial si también se consideran las fuerzas ficticias. el movimiento de traslación se puede evaluar suponiendo que la masa total se encuentra en el centro de masa (CM). El movimiento de rotación depende de las ubicaciones específicas del cuerpo donde se aplican las fuerzas externas.

Movimiento de traslación y rotación en marco no inercial

Para un sistema de partículas, el movimiento del centro de masa en un marco de referencia no inercial se debe a la fuerza externa total en el marco inercial más las siguientes fuerzas ficticias: fuerza centrífuga, fuerza de Coriolis, fuerza de Euler y la fuerza de aceleración traslacional del marco no inercial.
Considere un sistema de$k$partículas desde la perspectiva de un marco de referencia inercial y no inercial con orígenes respectivos en O y O*. O está estacionario y O* está en aceleración con respecto a O y los ejes cartesianos de O* giran con respecto a los de O. CM denota la posición del centro de masa de las partículas. Tal como se deriva de los libros de texto de mecánica física, para una sola partícula en el sistema de partículas [Symon]$(1) \enspace m{d^{*2} \vec r^{\, *} \over dt^2} = m( {d^{2}\vec r \over dt^2 }- \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r^{\,*} )- 2\vec \omega \times {d^*\vec r^{\,*}\over dt}- {d \vec\omega \over dt}\times \vec r^{\,*} - {d^2\vec h \over dt^2 })$

$(2)\enspace m{d^{*2}\vec r^{\,*}\over dt^2 }$es la aceleración de la partícula en el marco no inercial.

$(3)\enspace m {d^{2} \vec r \over dt^2} = \enspace \vec F^{\,ext} + \vec F^{\,int}$es la aceleración de la partícula en el marco inercial
donde$\vec F^{\,ext}$es la fuerza externa neta sobre la partícula, y$\vec F^{\,int}$es la fuerza interna neta sobre la partícula de otras partículas.

$(4)\enspace - m\vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r^{\,*})$es la fuerza centrífuga sobre la partícula en el marco O*.

$(5)\enspace- 2mω \times {d^*\vec r^{\,*}\over dt}$es la fuerza de Coriolis sobre la partícula en el marco O*.

$(6)\enspace -m {d \omega\over dt}×\vec r^{\,*}$Es la fuerza de Euler sobre la partícula en el marco O*.

$(7)\enspace -m{d^2\vec h \over dt^2}$es la fuerza ficticia de la aceleración traslacional de O* con respecto a O.

Sumando partículas totales en el sistema usando Eqn. 1, tenemos

$(8)\enspace ∑_{i=1}^{k} m_i{d^{*2} \vec r_i^{\,*} \over dt^2} = ∑_{i=1}^{k} m_i( {d^{2} \vec r_i \over dt^2} - \vec ω×(\vec ω×\vec r_i^{\,*}) - 2\vec ω×{d^* \vec r_i^{\,*} \over dt} - {d \vec ω\over dt} ×\vec r_i^{\,*} - {d^2 \vec h \over dt^2})$

$(9)\enspace ∑_{i=1}^{k} m_i {d^{2} r_i \over dt^2}=\sum_{i=1}^{k}\vec F_i^{\,ext} + \vec F_i^{\,int} = \sum_{i=1}^{k}\vec F_i^{\,ext}$ya que la fuerza interna total es cero según la tercera ley de Newton. Consulte la Figura 2. Tenga en cuenta que la distancia desde el CM hasta la partícula$i$es$\vec r_{iCM}$en los marcos O y O*. Para un cuerpo rígido, la magnitud de$\vec r_{iCM}$es constante en el marco inercial (y no inercial).

$(10)\enspace \vec r_i^* = \vec R^* + \vec r_{iCM}$dónde$\vec r_i^*$es la ubicación de la partícula$i$en el marco O* con respecto a O*,$\vec R^*$es la ubicación del CM en el marco O*, y$\vec r_{iCM}$es la ubicación de la partícula$i$con respecto al CM. Por lo tanto,

$(11) ∑_{i=1}^{k}\enspace m_i\vec r_i^* = ∑_{i=1}^{k}m_i\vec R^* + ∑_{i=1}^{k}m_i\vec r_{iCM}$.

Por la definición del CM

$(12)\enspace ∑_{i=1}^{k} m_i \vec r_i = MR$dónde$M= \sum_{i=1}^{k} m_i$es la masa total.

Usando la figura 1,

$(13)\enspace MR = \sum_{i=1}^{k} m_i \vec r_i =\sum_{i=1}^{k} m_i (\vec R + \vec r_{iCM}) = MR + \sum_{i=1}^{k} m_i \vec r_{iCM}$, por lo tanto

$(14)\enspace \sum_{i=1}^{k} m_i \vec r_{iCM} = 0$y la ecuación. (11) se reduce a

$(15)\enspace \sum_{i=1}^{k} m_i \vec r_i^* = M\vec R^*$dónde$\vec R^*$es la ubicación del CM en el marco O*.

Usando la Ec. (15),

$(16)\enspace \sum_{i=1}^{k} m_i \vec v_i^* = M\vec V^*$y

$(17)\enspace \sum_{i=1}^{k} m_i \vec a_i^* = M\vec A^*$Donde V* y A* son la velocidad y la aceleración, respectivamente, del CM en el sistema O*.

Usando las ecuaciones. (9), (15), (16) y (17) en la ecuación. (8), tenemos

$(18)\enspace M\vec A_{CM}^{\,*} = \vec F_{total}^{\,ext} -M\vec \omega \times(\vec \omega \times \vec R_{CM}^{\,*}) - 2M\vec \omega \times \vec V_{CM}^{\,*} - M{d\vec \omega \over dt} \times \vec R_{CM}^{\,*} - M\vec a_O^{\,*}$dónde$\vec F_{total}^{\,ext} = \sum_{i=1}^{k}\vec F_i^{\,ext}$y$\vec a_O^* = {d^2 \vec h \over dt^2}$es la aceleración de O* con respecto a O.

El lado izquierdo de la Ecn. (18) es la fuerza total sobre el CM en el marco O* no inercial. El primer término del lado derecho es la fuerza externa total en el marco de inercia. Los términos segundo, tercero y cuarto del lado derecho son, respectivamente: la fuerza centrífuga total, la fuerza total de Coriolis y la fuerza total de Euler. El último término del lado derecho es la fuerza ficticia que surge de la aceleración de traslación de O*. La relación (18) también se proporciona en una referencia. [Kochmann]

Tenga en cuenta que las fuerzas centrífugas netas, de Coriolis y de Euler se pueden expresar en términos de la masa total y la ubicación y el movimiento del CM en la ecuación. (18), y se puede considerar que la fuerza ficticia total de la aceleración de traslación de O* actúa en el CM.

Ahora considere el movimiento de rotación en el marco no inercial. Consulte la figura 3.

Con respecto a Q, en el marco no inercial el momento angular total es

$$(19) \enspace\vec L_{Q}^{\,*} = \sum_{i=1}^{k}m_i\vec r_{iQ}^{\,*} \times \dot {\vec r}_i^*$$ Usando$\vec r_{iQ}^{\,*} = r_i^{\,*} - R_Q^{\,*}$, la derivada del momento angular total es${d\vec L_{Q}^{\,*} \over dt } = \sum_{i=1}^{k}m_i \vec r_{iQ}^{^\,*} \times \vec a_i^{\,*} + \sum_{i=1}^{k}m_i \dot {\vec r_{i}}^{*} \times \dot {\vec r_{i}}^{\,*} - \dot {\vec R_{Q}}^{*} \times \sum_{i=1}^{k}m_i \dot {\vec r_{i}}^{*}$dónde$\vec a_i^{\,*}$es la aceleración de la partícula$i$en el marco no inercial. El segundo término del lado derecho es cero.

$M \vec R_{CM}^* = \sum_{i=1}^{k}m_i r_i^*$dónde$\vec R_{CM}^*$es la posición del CM en el marco no inercial.$\vec P^* = \sum_{i=1}^{k}m_i\vec v_i^{\,*} = M\vec V^*$es el momento lineal total en el marco no inercial donde$\vec V_{CM}^*$es la velocidad del CM en el marco no inercial.$\dot {\vec R_{Q}}^{*} = \vec v_Q^{\,*}$.

Por lo tanto,

$$(20) \enspace{d \vec L_{Q}^{\,*} \over dt } = \sum_{i=1}^{k}m_i (\vec r_{iQ}^{^\,*} \times \vec a_{i}^{\,*}) - \vec v_{Q}^{\,*} \times \vec P^*$$ Usando la ecuación (1) para$m_i\vec a_i^*$tenemos

$$(21) \enspace{d \vec L_{Q}^{\,*} \over dt } = \sum_{i=1}^{k}\vec r_{iQ}^{\,*} \times (\vec F_i^{\,ext} + \vec F_i^{\,cent} + \vec F_i^{\,corio} + \vec F_i^{\,Euler} + \vec F_i^{\,trans})$$

$\vec F_i^{\,ext}$es la fuerza externa total sobre la partícula$i$.

$\vec F_i^{\,cent} = - m_i\vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r_i^{\,*})$es la fuerza centrífuga sobre la partícula en el marco O*.

$\vec F_i^{\,corio} = - 2m_i \vec \omega \times {d^*\vec r_i^{\,*}\over dt}$es la fuerza de Coriolis sobre la partícula en el marco O*.

$\vec F_i^{\,Euler} = - m_i {d \vec \omega\over dt}×\vec r_i^{\,*}$es la fuerza de Euler sobre la partícula en el marco O*.

$\vec F_i^{\,trans} = -m_i{d^2\vec h \over dt^2}$es la fuerza ficticia de la aceleración traslacional de O*.

El par con respecto a$Q$de la fuerza ficticia total debida a la aceleración traslacional de$O^*$es$\sum_{i=1}^{k}\vec r_{iQ}^{\,*} \times (-m_i{d^2\vec h \over dt^2}) = \sum_{i=1}^{k}m_i(\vec r_i^* - \vec R_Q^*) \times (-{d^2\vec h \over dt^2}) = (\vec R_Q^* - \vec R_{CM}^{\,*}) \times M{d^2\vec h \over dt^2}$. Por lo tanto, la fuerza ficticia total debida a la aceleración traslacional de$O^*$puede considerarse que actúa en el CM.

No se puede suponer que el par de torsión de las otras fuerzas ficticias sea equivalente a las fuerzas que actúan en el CM. Esto también se discute en la referencia. [Díaz]

Si$Q$se elige como CM, el par de torsión de la fuerza ficticia debida a la aceleración traslacional es cero y

$$(22) \enspace {d\vec L_{CM}^{\,*} \over dt }= \sum_{i=1}^{k}\vec r_{iCM}^{\,*} \times (\vec F_i^{\,ext} + \vec F_i^{\,cent} + \vec F_i^{\,corio} + \vec F_i^{\,Euler})$$

Para un cuerpo rígido con$O^*$seleccionado como un punto dentro del cuerpo, la fuerza de Coriolis es cero. y

$$(23) \enspace {d{\vec L_{CM\,rigid}^{\,*}} \over dt} = \sum_{i=1}^{k}\vec r_{iCM}^{\,*} \times (\vec F_i^{\,ext} + \vec F_i^{\,cent} + \vec F_i^{\,Euler})$$ El término de Euler es cero para constante$\vec \omega$.

Lo siguiente aborda una posible área de confusión. El momento angular de un cuerpo rígido giratorio con respecto a su CM en un marco giratorio no inercial, el marco del cuerpo, en el que el cuerpo está en reposo,$\vec L_{CM}^*$es cero desde$\vec v_i^*$es cero para cada partícula$i$. El momento angular en el marco espacial no giratorio, llámelo$\vec H_{CM}$con respecto al CM no es cero.$\vec L_{CM}^*$y$\vec H_{CM}$no son los mismos vectores.

Con respecto a la CM,$\vec H_B = {\bf I}\vec \omega$dónde${\bf I}\vec \omega$es el momento de inercia en el marco espacial inercial, y$\vec \omega$es la velocidad angular de rotación del cuerpo en el marco inercial.${d\vec H_{CM} \over dt} = \vec N_{CM}$dónde$\vec N_{CM}$es el par neto con respecto al CM de las fuerzas externas en el marco de inercia. [Kochmann]

Para cualquier vector (gratis)$\vec G$

$$\enspace (24) {d \vec G \over dt}|_{space} = {d \vec G \over dt}|_{body} + \vec \omega \times \vec G$$ [Goldstein]${d \vec G \over dt}|_{space}$es la derivada de$\vec G$expresado en coordenadas espaciales.${d \vec G \over dt}|_{body}$es la derivada de$\vec G$expresado en coordenadas del cuerpo. Consulte mi respuesta a Las derivadas temporales de los vectores en marcos giratorios en este intercambio para obtener una discusión detallada de la relación (24).

Usando la relación (24) para un cuerpo rígido, la derivada temporal del momento angular del marco espacial con respecto al CM se puede expresar como

$$(25) \vec N_{CM}= \bf I_{body} \dot {\vec \omega} + \omega \times {\bf I_{body}}\vec \omega$$ dónde${\bf I_{body}}$es el tensor de inercia constante en la estructura del cuerpo. [Kochmann]

El primer término del lado derecho de la relación (25) no es la derivada temporal del momento angular en el marco del cuerpo no inercial donde el cuerpo está en reposo; es la derivada temporal del momento angular del marco espacial expresado mediante las coordenadas del marco del cuerpo. La derivada temporal del momento angular en el marco del cuerpo no inercial donde el cuerpo está en reposo es cero.

Referencias

[Goldstein] Goldstein, Mecánica Clásica

[Kochmann] https://ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/mavt/mechanical-systems/mm-dam/documents/Notes/Dynamics_LectureNotes.pdf .

[Symon] Symon, Mecánica

[Diaz] Sobre la transformación de torques entre los marcos de referencia de laboratorio y centro de masa (researchgate.net)