Solo quería dar una idea más concreta de cómo conocemos estas ecuaciones aunque tengamos problemas para probar teoremas analíticos sobre ellas.

Cosas que se mueven en el espacio

Considere cualquier cosa (como en cualquier cantidad conservada) distribuida en el espacio. Sabemos que podemos describir esto con un campo de densidad dependiente del tiempo$\rho(x,y,z,t)$tal que cualquier pequeño volumen$dV$tiene alguna cantidad de cosas$\rho~dV$en ese punto. También sabemos que este material puede fluir con el tiempo y lo tratamos formalmente diciendo que queremos saber el flujo a través de una pequeña superficie plana de área.$dA,$que se orienta en el$\hat n$dirección: es decir, la superficie es normal a$\hat n$y el flujo "positivo" estará en el$+\hat n$dirección. Combinados juntos esto es un vector$d\mathbf A = \hat n~dA$y hay algún campo vectorial$\mathbf J(x,y,z,t)$tal que la cantidad de material que fluye a través de esta área durante un tiempo$\delta t$es$\delta t~d\mathbf A\cdot\mathbf J(x,y,z,t).$Con$\rho$y$\mathbf J$sabemos casi todo. Como el material se conserva, podemos decir que en esta caja de volumen$dV,$si la cantidad de cosas en la caja cambia, es porque hubo un flujo neto hacia adentro o hacia afuera de los lados de la caja, por lo que estamos haciendo algo$\iint d\mathbf A\cdot \mathbf J$que resulta por el teorema de Gauss ser justo$dV~\nabla\cdot\mathbf J,$o vino de fuera del sistema que estamos estudiando, así que hay algún término$dV~\Phi$. Igualando eso con el cambio en la caja$dV~(\partial\rho/\partial t)$da la ecuación inicial simple

$${\partial \rho\over\partial t} = -\nabla\cdot \mathbf J + \Phi.$$ Ahora, cuando tenemos un campo de flujo $\mathbf v(x,y,z,t)$Al dictar cómo fluye un fluido, el término de transporte más dominante es que la caja fluye aguas abajo, $\mathbf J = \rho~\mathbf v + \mathbf j$por alguna desviación $\mathbf j.$Por lo general, la desviación principal proviene de la ley de Fick , que hay un flujo proporcional a la diferencia de densidad entre puntos adyacentes, $\mathbf j = -D~\nabla \rho,$pero puede haber términos más complejos allí; en particular, veremos presión aquí.

Conservación de momento

El punto clave aquí es que$p_x$, el impulso en el$x$-dirección, es un material. Es una cantidad conocida conservada. Se conserva como resultado directo de la tercera ley de Newton que, según el célebre teorema de Emmy Noether , resulta ser lo mismo que el enunciado de que las leyes de la física son las mismas en la posición$x$ya que están en posición$x+\delta x$, para una definición adecuada de "leyes de la física". Estamos bastante seguros de esto, y estamos bastante seguros de que el impulso del propio fluido en el$x$Por lo tanto, la dirección también debe conservarse, y esto es$\rho~v_x$donde estoy cambiando un poco las definiciones en ti:$\rho$ahora se refiere al campo de densidad de masa y$v_x$todavía se refiere a la velocidad del fluido en el$x$-dirección.

Ahora un flujo de cantidad de movimiento por unidad de tiempo, que dijimos es lo que$\mathbf J\cdot d\mathbf A$es, es una fuerza . Por lo tanto$\mathbf J$toma naturalmente la forma de una fuerza por unidad de área en este contexto. Ahora sabemos que la expresión de Newton para las fuerzas viscosas era de hecho escribir$F_x = \mu~A~v_x/y$donde estoy moviendo una superficie de un fluido a velocidad$v_x$a una distancia perpendicular$y$de un lugar donde se mantiene quieto; no te sorprenderá en absoluto ver que esto es muy similar a la ley de Fick y se puede escribir simplemente como$\mathbf j_\text{viscosity} = -\mu~\nabla v_x.$A eso también debemos agregar los efectos de la presión, ya que una disminución de la presión también impulsa un movimiento fluido; esto es un poco más difícil de razonar, pero toma la forma de que podemos imaginar un flujo constante en el$x$-dirección de$p~\hat x$y luego las desviaciones en este flujo producirían el cambio en el impulso por unidad de tiempo$-\partial p/\partial x$a través de este término de divergencia. (Esa es una manera un poco descuidada de mostrar que estamos hablando de un tensor de estrés y parte de esto es$p~\mathbf 1$, la matriz identidad multiplicada por la presión.) Combinando estos dos componentes de$\mathbf j$tenemos

$${\partial \over\partial t}(\rho~v_x) = -\nabla\cdot (\rho~v_x~\mathbf v - \mu \nabla (v_x)) - \frac{\partial p}{\partial x} + \Phi_x.$$ La contribución externa $\Phi$proviene de fuerzas que influyen en el fluido desde el exterior, como la gravedad.

En las ecuaciones de Navier-Stokes, el Premio del Milenio se ha restringido a un caso considerablemente más simple donde$\nabla\cdot\mathbf v = 0$y$\rho$y$\mu$son constantes, lo que llamamos "flujo incompresible". En general, esta es una suposición válida cuando interactúa con un fluido a velocidades mucho más bajas que la velocidad del sonido en ese fluido; entonces el fluido preferiría alejarse de usted que comprimirse en cualquier lugar. En este caso podemos viajar$\rho$de todas las derivadas espaciales y luego se divide por ella, de modo que el único impacto es reescribir$\nu=\mu/\rho$y$\lambda=p/\rho$y$a_x=\Phi_x/\rho$, eliminando la unidad de masa de la ecuación. Para$v_x$tenemos específicamente,

$${\partial v_x\over\partial t} + \mathbf v\cdot\nabla v_x - \nu \nabla^2 v_x = - \frac{\partial \lambda}{\partial x} + a_x,$$ y luego podemos extender el análisis anterior a las direcciones $y,z$demasiado para encontrar, $$\dot{\mathbf v} + (\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v - \nu \nabla^2 \mathbf v = - \nabla \lambda + \mathbf a.$$ Esta es la versión de las ecuaciones de Navier-Stokes escritas en el Premio del Milenio; tenemos una explicación muy directa de esto como "El flujo de cantidad de movimiento en una pequeña caja que fluye aguas abajo en un fluido newtoniano homogéneo incompresible se debe completamente a la difusión de la cantidad de movimiento de la ley de Fick debido a la viscosidad del fluido, más una fuerza debida a gradientes de presión dentro del fluido, más las fuerzas impuestas por el mundo externo".

¿Por qué esta ecuación?

La comprensión de la física de cómo llegamos a esta ecuación no está en duda. Lo que está en juego son las matemáticas de esta ecuación, en particular esta$(\mathbf v \cdot \nabla) \mathbf v$término que contiene$\mathbf v$dos veces y por lo tanto la convierte en una ecuación diferencial parcial no lineal: dados dos campos de flujo$\mathbf v_{1,2}$que son válidos, en general$\alpha \mathbf v_1 + \beta \mathbf v_2$no resolverá esta ecuación, eliminando nuestra herramienta más poderosa de nuestra caja de herramientas.

La no linealidad resulta ser increíblemente difícil de resolver en general, y esencialmente el Instituto de Matemáticas Clay está dando el premio de un millón de dólares a cualquiera que descifre la teoría de ecuaciones diferenciales no lineales con la fuerza suficiente para que pueda responder una de las preguntas matemáticas más básicas sobre estas Navier- Las ecuaciones de Stokes, como un "ejemplo más básico" para su nuevo conjunto de herramientas teóricas.

La idea de los premios Clay es que son problemas específicos (¡lo cual es importante para otorgar un premio por su solución!) pero que parecen requerir ideas generales nuevas y poderosas que permitirían que nuestras matemáticas lleguen a lugares donde históricamente no han podido. para llevar. Usted ve esto por ejemplo en$\text{P} = \text{NP}$, es una pregunta muy específica, pero para responderla parece que necesitamos manejar mejor "aquí hay una clasificación de un conjunto de cosas que pueden hacer las computadoras, y aquí hay algunas cosas que una computadora no puede hacer de manera eficiente" que nadie aún no ha sido capaz de presentar convincentemente. Una nueva caja de herramientas que pudiera resolver esta "pequeña y estúpida" pregunta mejoraría profundamente nuestra capacidad para trabajar en una gran clase de problemas relacionados con la computación.

Como mencionó @QMechanic en un comentario, las ecuaciones de Navier-Stokes son solo$F = ma$, pero se ven mucho más aterradores. Suponiendo un fluido incompresible, se tiene:

$$\rho \frac{D u_i}{D t} = -\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_b$$

dónde$\rho$es la densidad (masa por unidad de volumen),$D u_i /D t$es la aceleración (escrita en forma lagrangiana, en lugar de euleriana para mayor claridad),$\sigma$es el tensor de tensión de Cauchy (generalmente expandido para eliminar la presión de la traza,$\sigma_{ij} = -p \delta_{ij} + \tau_{ij}$donde ahora$\tau_{ij}$es el tensor de tensión viscoso), y$f_b$es la fuerza del cuerpo (cosas como la gravedad).

Todo en el lado derecho es la suma de fuerzas, y el izquierdo es la masa por la aceleración.

Las ecuaciones de Navier Stokes son una combinación de la segunda ley de movimiento de Newton (forma diferencial) con la versión 3D de la ley de viscosidad de Newton (es decir, la ecuación mecánica constitutiva de un fluido newtoniano).

Lo que te enseñaron en Física en la escuela fue correcto. No existen muchas soluciones analíticas para problemas prácticos interesantes y, a menudo, es necesaria una solución numérica (por ejemplo, usando dinámica de fluidos computacional (CFD)). Pero ciertamente se entienden bien.

Para agregar a la respuesta de tpg124 y responder la pregunta implícita en su declaración:

¿Cómo se descubrieron las ecuaciones en primer lugar si no podemos resolverlas?

la sencillez y claridad del significado de una ecuación y la dificultad de resolver las implicaciones de esa ecuación son dos cosas completamente diferentes. Para la ecuación de Navier-Stokes, el significado es muy claro (una declaración de las leyes de Newton) y las ecuaciones podrían escribirse tan pronto como las herramientas matemáticas estuvieran disponibles para hacerlo. La dificultad con la ecuación de Navier-Stokes se puede ver cuando expandimos la forma lagrangiana de la derivada en el lado izquierdo de la ecuación en la respuesta de tpg124 ; contiene un llamado término de advección $(\vec{v}.\nabla)\vec{v}$eso es parte de explicar el hecho de que las coordenadas de campo de la materia a la que se aplican las leyes de Newton se mueven en las coordenadas de campo. Es una ecuación sobre el flujo de un campo vectorial. Este término de advección es una no linealidad cuadrática y es la fuente de todos los conflictos que se encuentran al resolver la ecuación.

Otro ejemplo de física que es muy similar es la ecuación de campo de Einstein, en el sentido de que tiene un significado simple ( vea mi respuesta aquí ), pero los significados de las soluciones pueden ser muy sutiles (lo que requiere mucha práctica con la noción de general). covarianza), y es terriblemente difícil de resolver, tanto en la medida en que hay pocas soluciones exactas como en la medida en que las soluciones numéricas pueden comportarse terriblemente mal hasta que se lleva a cabo una gran cantidad de ingenio numérico y análisis numérico teórico puro, mucho más allá del mero conocimiento de la física de la relatividad. soportar los problemas. Esta situación simple de entender, difícil de resolver en este caso también es provocada por una no linealidad: el llamado término de inversión de trazas$-\frac{1}{2}\,R\,g$, dónde$g$es el tensor métrico y$R$un escalar que es como una doble traza de un conmutador (corchete de mentira) de derivadas de$g$. Así que aquí también tenemos una no linealidad cuadrática. Esta no linealidad es provocada por los significados simultáneos de conservación geométrica (identidad de Bianchi) y energía-momento codificados en la ecuación discutida en mi otra respuesta . La relatividad numérica realmente solo despegó en la década de 1980, setenta años después de que se postulara la teoría, cuando la potencia informática necesaria se puso en línea para que las personas progresaran en el arduo trabajo de aprender a dominar los problemas numéricos.

Considere el siguiente ejemplo. Para describir el movimiento de una masa unidimensional unida a un resorte, primero considera todas las fuerzas. La fuerza debida al resorte es$F_s=-kx$con$k$la constante del resorte y$x$la extensión del resorte y la fuerza debida a la fricción es$F_f=-bv$con b alguna constante y$v=\dot x$la velocidad de la masa. Escribir la ecuación final es fácil:

$$\begin{align}F_{total}&=ma\\ -bv-kx&=m \ddot x\\ m\ddot x+b\dot x+kx&=0 \end{align}$$ La última ecuación es una descripción completa de este sistema de la misma manera que las ecuaciones de Navier Stokes son una descripción completa del movimiento de fluidos (por supuesto, para resortes y fluidos ideales). Escribir las ecuaciones diferenciales es relativamente fácil, pero si quieres encontrar una función explícita $x(t)=\ ...\ $todavía tendrías que hacer mucho trabajo.