¿Por qué el gradiente de presión es cero en una pared?

Por lo general, esto solo se aplica a un flujo limitado por la pared y normalmente se restringe a fluidos incompresibles. Este resultado generalmente se manifiesta en la teoría de la capa límite y se puede obtener a través del análisis de orden de magnitud de las ecuaciones de Navier-Stokes. La ecuación de cantidad de movimiento constante, incompresible y constante en la$y$dirección toma la forma,

$$u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} + \nu \left( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right)$$ El orden de magnitud de cada término dentro de la capa límite es el siguiente, $$O\left[u \frac{\partial v}{\partial x}\right] = O\left[\frac{\delta}{L^2} U_e^2\right]$$ $$O\left[v \frac{\partial v}{\partial y}\right] = O\left[\frac{\delta}{L^2} U_e^2\right]$$ $$O\left[\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y}\right] = O\left[\frac{\delta}{L^2} U_e^2\right] \text{(at most)}$$ $$O\left[\nu \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right] = O\left[\frac{\delta^2}{L}\frac{\delta}{L^2} U_e^2\right]$$ $$O\left[\nu \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right] = O\left[\frac{\delta}{L^2} U_e^2\right]$$

Dónde$\delta$es la altura de la capa límite,$L$es la longitud característica del cuerpo, y$U_e$es la velocidad del flujo externo en el borde de la capa límite. Una restricción adicional es que$\delta/L \ll 1$. Observe que cada término tiene un orden de magnitud comparable a$(\delta/L^2) U_e^2$, a excepción del término de gradiente de presión normal y el término viscoso de la$x$dirección. Primero reconocemos que$\delta^2/L$es una cantidad muy pequeña y esencialmente elimina el$\nu \partial^2 v/ \partial x^2$término de la ecuación. De manera similar, solo en el borde de la capa límite donde las fuerzas viscosas se vuelven insignificantes (es decir, un número de Reynolds alto) el orden de magnitud del término del gradiente de presión se aproxima a$(\delta/L^2) U_e^2$. Esto fue observado por primera vez por Prandtl, a lo que dedujo a través de la capa límite que podemos escribir,

$$\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} \approx 0$$ o más convencionalmente, $$\frac{\partial p}{\partial y} \approx 0$$

En cuanto a su segunda pregunta, esto solo se aplica a la presión estática. Además, todo esto supone que el flujo está unido a la pared.

Proviene de la noción de la capa límite y si permanece unida a la pared o no. Si considera la ecuación de cantidad de movimiento normal a la pared, la única forma en que puede haber un gradiente de presión normal a la pared es si hay una velocidad o aceleración normal a la pared. Si ese es el caso, entonces la capa límite ya no está unida.

Esto se mantiene a medida que te acercas infinitesimalmente a la pared (bueno, siempre que sea un continuo). En algún punto, el flujo se une a la pared, incluso si es una capa delgada y diminuta, por lo que en las simulaciones, el gradiente es cero en la pared. Si tiene una resolución de cuadrícula adecuada, todo está bien.

Teniendo en cuenta algunos de los comentarios a esta pregunta, pensé que podría ser útil proporcionar una respuesta algo más detallada. Comienzo con una revisión básica de algunas de las matemáticas y terminaré con comentarios sobre enfoques para la solución numérica del problema.

Observaciones sobre las matemáticas del problema incompresible de Navier-Stokes

Para simplificar las cosas, consideraré un escenario en el que nos restringimos a un flujo bidimensional incompresible de Navier-Stokes, descrito en un modelo cartesiano.$x_1$-$x_2$sistema coordinado. Los campos de velocidad y presión son$\mathbf u={\mathbf u}(\mathbf x,t)=(u_1,u_2)^T(x_1,x_2,t)$y$p(\mathbf x,t)=p(x_1,x_2,t)$.

También supondré que nuestro problema tiene condiciones de contorno de Dirichlet para las velocidades en todas partes en un dominio cuadrado$\Omega=\{(x_1,x_2)\,\,\vert \,\,0\le x_1\le1,\, 0\le x_2\le1\}$con límite$\Gamma$.

El sistema de ecuaciones que describe el flujo incompresible en este dominio está dado por

$${\mathbf\nabla}\cdot{\mathbf u}=0,$$ $$\frac{\partial\mathbf u}{\partial t} +{\mathbf u}\cdot{\mathbf\nabla}{\mathbf u}=-{\mathbf\nabla}p+\frac{1}{Re}\Delta{\mathbf u}$$

Este sistema necesita ser complementado con condiciones iniciales y de contorno, para lo cual elegimos

$${\mathbf u}(x_1,x_2,0)={\mathbf u}_0(x_1,x_2),\quad (x_1,x_2)\in\Omega,$$

y

$${\mathbf u}(x_1,x_2,t)={\mathbf u}_\Gamma(x_1,x_2,t),\quad (x_1,x_2)\in\Gamma,$$

dónde$\Gamma=\partial\Omega$es el límite del dominio. Permitimos la arbitrariedad${\mathbf u}_\Gamma(x,y,t)$, con la excepción de la pieza inferior del límite, que elegimos como una pared sólida antideslizante, por lo que tenemos

$${\mathbf u}_\Gamma(x_1,x_2,t)={\mathbf 0},\quad (x_1,x_2)\in\{(x,0)\,\,\vert \,\,0\le x\le1\}.$$

Observe, en primer lugar, que el conjunto de ecuaciones anterior no incluye y no requiere ninguna condición de contorno para la presión. De hecho, la presión aparece como un multiplicador de Lagrange en las ecuaciones de cantidad de movimiento que se utiliza para proyectar la solución de las ecuaciones de cantidad de movimiento en el espacio de campos vectoriales sin divergencia. En otras palabras, su función es asegurar que se satisfaga la ecuación de continuidad y se conserve la masa.

Es instructivo echar un vistazo más de cerca a las propiedades del campo de presión resultante. Tomando la divergencia de las ecuaciones de momento y reorganizando, encontramos que el campo de presión satisface la ecuación de Poisson

$$\Delta p=\nabla\mathbf u:\nabla\mathbf u,$$

donde los dos puntos representan el producto interno$\frac{\partial u_i}{\partial x_j} \frac{\partial u_j}{\partial x_i}$donde se utilizó la convención de suma.

Para encontrar los valores límite asumidos por este campo de presión, reescribimos las ecuaciones de cantidad de movimiento en los límites. Dado que estamos específicamente interesados ​​en el gradiente de presión normal a la pared en una pared sólida, proyectemos las ecuaciones de cantidad de movimiento en la coordenada normal a la pared$x_2$para obtener

$$\frac{\partial p}{\partial x_2}=-\frac{\partial u_2}{\partial t} -{\mathbf u}\cdot{\mathbf\nabla}{u_2}+\frac{1}{Re}\Delta u_2.$$

Uso de la condición de frontera$\mathbf u\equiv0$en la pared esto se simplifica a

$$\frac{\partial p}{\partial x_2}=\frac{1}{Re}\frac{\partial^2 u_2}{\partial x_2^2}.$$

Por lo tanto, está claro que el gradiente de presión normal a la pared es distinto de cero en general, y prescribir un gradiente de presión cero en la pared es matemáticamente inconsistente con el problema original. Dado que este punto surgió en un comentario, también señalaré que, en general, no podemos consolarnos con la apariencia del$1/Re$factor en la expresión anterior, tratando de argumentar que el lado derecho se puede despreciar para un gran número de Reynolds. Esto no es así, ya que estamos considerando la región cercana a la pared del flujo, y para evaluar la magnitud relativa de dicho lado derecho, es posible que debamos considerar un número de Reynolds local , apropiado para el tamaño de cerca importante. -Estructuras de flujo de pared. Para resumir, resulta que para una amplia clase de flujos importantes, como la turbulencia cerca de la pared, este número de Reynolds local es del orden de la unidad. En otras palabras, no podemos descuidar el lado derecho de tal flujo.

Ahora arrojemos un poco más de luz sobre las posibles consecuencias de proporcionar condiciones de contorno incorrectas para el campo de presión. Esto se ve más fácilmente al considerar una formulación alternativa pero equivalente del problema de Navier-Stokes anterior. Resultará que esta formulación, conocida como "formulación de la ecuación de presión-Poisson", también es importante para los enfoques numéricos de la solución de estas ecuaciones. Para esta formulación reemplazamos la combinación de ecuaciones de continuidad y momento en la llamada "formulación de variables primitivas" de las ecuaciones de Navier-Stokes por una combinación de ecuaciones de presión-Poisson y momento, así:

$$\Delta p=\nabla\mathbf u:\nabla\mathbf u,$$ $$\frac{\partial\mathbf u}{\partial t} +{\mathbf u}\cdot{\mathbf\nabla}{\mathbf u}=-{\mathbf\nabla}p+\frac{1}{Re}\Delta{\mathbf u}.$$

Este sistema de ecuaciones diferenciales parciales ahora requiere las siguientes condiciones iniciales y de contorno:

$${\mathbf u}(x_1,x_2,0)={\mathbf u}_0(x_1,x_2),\quad (x_1,x_2)\in\Omega,$$ $$\mathbf\nabla\cdot{\mathbf u}(x_1,x_2,t)=0,\quad (x_1,x_2)\in\Gamma,$$ $${\mathbf u}(x_1,x_2,t)={\mathbf u}_\Gamma(x_1,x_2,t),\quad (x_1,x_2)\in\Gamma,$$

Observe que ahora necesitamos exigir una condición de contorno adicional, ya que la formulación de la ecuación de Poisson de presión se obtuvo del sistema original a través de una operación de diferenciación, aumentando así el orden del sistema. También puede ver que el sistema de PDE que hemos obtenido ahora tiene una estructura no estándar, ya que ahora tenemos tres condiciones de contorno para el campo de velocidad y ninguna para la presión. Haré dos comentarios importantes:

1. Esta situación conduce a importantes dificultades en la implementación de esquemas numéricos adecuados para la solución de este conjunto de ecuaciones. Sin embargo, tales esquemas son posibles y se conocen como "métodos de matriz de influencia".
2. Hay un número sorprendentemente grande de referencias en la literatura que recomiendan usar una condición límite de gradiente de presión para reemplazar la primera de las condiciones límite que hemos establecido anteriormente. Hay dos variantes de estos: (a) Usar una condición de gradiente de presión cero. Esto da como resultado un problema matemático bien planteado, pero la solución de este problema no puede satisfacer la ecuación de continuidad para flujo incompresible. En pocas palabras, la solución resultante es incorrecta . Hacemos hincapié en que la solución es matemáticamente incorrecta , y un esquema numérico que utiliza este enfoque no convergerá a la solución correcta de Navier-Stokes, pase lo que pase. (b) Uso$\nabla p=(1/Re) \Delta\mathbf u$como condición de contorno. Esto empeora las cosas : el problema resultante ahora está matemáticamente mal planteado y no tiene una solución definitiva en absoluto.

Finalmente, para comprender mejor el papel que juega la presión en las soluciones incompresibles de Navier-Stokes, puede ser instructivo observar el comportamiento de la divergencia del campo de velocidad, dada la ecuación de presión de Poisson. Tomando la divergencia de las ecuaciones de cantidad de movimiento y sustituyendo allí la ecuación de Poisson de presión, llegamos a

$$\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf\nabla\cdot\mathbf u)=\Delta(\mathbf\nabla\cdot\mathbf u).$$

Por lo tanto, la divergencia de velocidad satisface una ecuación de calor. Si no se imponen las condiciones de contorno adecuadas, según los teoremas de máximo/mínimo apropiados para tales ecuaciones, esperamos errores máximos de divergencia en los límites, que se difundirán alejándose de los límites hacia el dominio. No hace falta decir que para muchos flujos de capa límite (capas límite de transición y turbulentas en particular), tales errores pueden ser desastrosos y destruir por completo la representación de la física del flujo.

Comentarios sobre los métodos numéricos

Al considerar enfoques para la solución numérica del problema de Navier-Stokes, es crucial comprender los detalles exactos de los métodos considerados. Al hacerlo, encontrará que el concepto de "condición límite" a menudo se maneja de una manera excesivamente descuidada en la comunidad, lo que puede dificultar saber qué ecuaciones se están utilizando de hecho y por qué. Esto es particularmente cierto en el caso de códigos de diferencia finita y volumen finito. En esta área abundan los ejemplos de esquemas que están sobredeterminados o mal planteados matemáticamente. Los métodos espectrales y los métodos de elementos finitos generalmente imponen algo más de disciplina matemática y, por lo tanto, parecen ser un poco menos propensos a algunas de las trampas. Sin embargo, hay una afirmación que podemos hacer con certeza:

No existe un esquema numérico consistente y preciso que viole las matemáticas descritas anteriormente. Las condiciones de contorno incorrectas para la presión dan como resultado soluciones incorrectas, fin de la historia.

Específicamente, ningún esquema numérico exitoso en el sentido anterior usa una condición límite de gradiente de presión cero para la presión. Sin embargo, hay una serie de métodos numéricos que parecenestán utilizando condiciones de contorno impropias, y entre éstas se encuentran algunos de los esquemas más populares utilizados tanto en la investigación como en los códigos comerciales. Por ejemplo, en los métodos de pasos fraccionarios, así como en el algoritmo SIMPLE, se emplean procedimientos iterativos que utilizan una condición límite de gradiente cero para un paso de corrección de presión. Quiero enfatizar que tales métodos pueden ser perfectamente legítimos, consistentes con las ecuaciones exactas y converger en soluciones precisas. Hay una gran cantidad de posibles variantes de tales enfoques y no tiene sentido discutirlas en detalle aquí. Baste decir que muy a menudo uno encuentra que la "presión" utilizada en el núcleo de dichos algoritmos no representa el campo de presión matemáticamente correcto, sino que es una pseudo-presión.. La solución resultante produce una aproximación consistente del campo de velocidad, pero la pseudopresión se desvía sistemáticamente del campo de presión correcto. Esta situación puede corregirse o no en pasos adicionales del algoritmo.

Esta situación se complica aún más por el hecho de que los detalles de implementación precisos de muchos métodos numéricos siguen sin estar claros, con el resultado de que los algoritmos que simplemente no deberían funcionar en función de su descripción formal publicada sí brindan aproximaciones útiles, por razones que, sin embargo, siguen sin estar claras. . Diré que estoy íntimamente familiarizado con el proceso de desarrollo de tales códigos de mi propio grupo de investigación y de colegas. Con demasiada frecuencia, lo que realmente sucede es que el estudiante de posgrado comienza con un código mal concebido que no debería funcionar, y luego sigue trabajando en él hasta que "el código está arreglado" y produce resultados aceptables en algún sentido. Una discusión sobre lo que está mal con esta imagen realmente me llevaría demasiado lejos aquí...

Finalmente, para una revisión mucho más detallada de este tema, consulte el artículo de revisión de Rempfer en Applied Mechanics Reviews (" On Boundary Conditions for Incompressible Navier-Stokes Problems ", AMR ( 59 ) 2006).