¿Qué representa físicamente el Número de Reynolds de un flujo?

Del artículo de Wikipedia para el número de Reynolds:

En mecánica de fluidos, el número de Reynolds (Re) es un número adimensional que da una medida de la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas y, en consecuencia, cuantifica la importancia relativa de estos dos tipos de fuerzas para condiciones de flujo dadas.

Además de medir la relación entre las fuerzas inerciales y viscosas en un flujo, las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes se pueden escribir en forma no dimensional de modo que el único parámetro sea el número de Reynolds (ignorando las fuerzas del cuerpo). Esto es muy bueno porque es la base para la validez de las pruebas en túnel de viento.

Supongamos que nos gustaría medir la aerodinámica del flujo alrededor de un Boeing 747. Existen (al menos) dos opciones:

1. Construya su propio 747 de tamaño completo, instrumente y vuele. (extremadamente caro)
2. Construya un modelo a pequeña escala de un 747, instálelo, pruébelo dentro de un túnel de viento (mucho menos costoso)

Pero, ¿cómo sabemos que el flujo que medimos en el túnel de viento es lo que realmente sucede en vuelo? Hacemos coincidir los números de Reynolds y exactamente las mismas ecuaciones modelan ambas situaciones; por lo tanto, la aerodinámica debe ser la misma. (Ignorando los efectos de compresibilidad.)

El número de Reynolds se define como:

$$\text{Re} = \frac{ v D }{ \nu }$$ dónde $v$es la velocidad característica del flujo, $D$tiene un tamaño característico y $\nu$es la viscosidad cinemática.

Ahora, ¿por qué debería importarnos? ¿Por qué es importante el número de Reynolds? Bueno, lo primero que hay que darse cuenta es que el número de Reynolds es un número adimensional. Esto significa que tiene un cierto poder que los números dimensionales no tienen. Es un número puro y no depende de ninguna manera de su elección particular de unidades. Esto significa que tiene algún tipo de significado intrínseco o universal fuera de cualquier construcción humana.

En particular, se puede pensar que el número de Reynolds mide la velocidad relativa del flujo. Esperaríamos que la física de los fluidos fuera diferente para flujos lentos y rápidos, pero esta pregunta en sí misma no está bien definida. ¿ Lento o rápido en comparación con qué ? Esto es lo que nos dice el número de Reynolds. Nos dice si el flujo es lento o rápido al formar una medida adimensional natural de la velocidad del flujo. Dado que es un número puro, esperamos comportamientos cualitativamente diferentes si$\text{Re} \ll 1$y$\text{Re} \gg 1$.

Y esto es precisamente lo que observamos. El límite bajo del número de Reynolds corresponde a cosas como canicas que caen en jarabe de maíz, gotas de nubes en el aire o bacterias en el agua. Se trata de flujos viscosos lentos donde las fuerzas de arrastre son proporcionales a la velocidad.

Por otro lado, en el límite de flujo alto, tenemos flujo turbulento, donde se crean remolinos detrás de nuestro objeto o alrededor de los bordes de las tuberías, este es el límite general al que corresponde la mayoría de las cosas en el aire a escala humana, por lo que está familiarizado con turbulento fluye intuitivamente. En este límite, la resistencia es proporcional a$v^2$. Las cosas grandes como las personas estarán en este régimen turbulento en el aire incluso a velocidades tan pequeñas como 0,1 m/s aproximadamente. Este es el límite en el que la viscosidad deja de ser importante y, en su mayor parte, podemos imaginar el flujo en un fluido como algo que simplemente barre el fluido frente a nuestros cuerpos de interés.

Por ejemplo, mire la fuerza de arrastre que siente una esfera en función del número de Reynolds (de wikipedia )

En el límite del número de reynolds bajo, el coeficiente de arrastre se escala como$\text{Re}^{-1}$mientras que en el límite superior es aproximadamente constante.

Flujo de impulso

Considéralo de otra manera. La viscosidad cinemática es la constante de difusión de la cantidad de movimiento en un fluido. Es la rapidez con la que se propaga el momento debido a las colisiones entre las diferentes moléculas de un fluido. Echemos un vistazo a un par de momentos relevantes para el flujo de fluidos.

Primero, notemos que$\nu/D$tiene las dimensiones de una velocidad, entonces$D^2/\nu$tiene las dimensiones del tiempo. (Aquí$D$es un tamaño característico del objeto y$\nu$es la viscosidad cinemática). ¿Qué representa este tiempo? Dado que la viscosidad cinemática es una constante de difusión para la cantidad de movimiento, la relación$D^2/\nu$nos dice la escala de tiempo para que el impulso se mueva una distancia característica$D$. Ya que$D$es el tamaño de nuestro objeto, esto debería corresponder, aproximadamente, al tiempo que tarda la presencia del objeto en transferirse a través del fluido de un extremo del objeto al otro. Es el tiempo que tarda el fluido en "fluir" alrededor del objeto. (Más exactamente, es el tiempo que tardan las perturbaciones del momento en el fluido para fluir alrededor del objeto).

Pero hay otro tiempo característico:$D/v$. Este segundo tiempo corresponde al tiempo que tarda un objeto en recorrer una distancia igual a su tamaño.$v$es la velocidad a la que viaja (en relación con el fluido) y$D$es su tamaño, por lo que se moverá una distancia$D$a tiempo$D/v$.

El número de Reynolds es la razón de estos dos tiempos

$$\text{Re} = \frac{ D^2 / \nu}{ D/v} = \frac{ v D }{ \nu}$$ Por lo tanto, mide la relación entre el tiempo que le tomaría al fluido fluir alrededor de un objeto y el tiempo que le tomaría al objeto moverse una distancia igual a su tamaño. Claramente aquí, si esa proporción es grande, esperamos que el fluido no se mueva del camino y simplemente sea barrido, mientras que si es baja, esperamos un flujo apreciable alrededor del material.

pequeño aparte

De hecho, usando esta idea puedes "derivar" la ecuación normal de arrastre de aire para la fuerza. Podemos suponer en el caso más simple que una pelota que viaja a través del aire choca contra todas las moléculas de aire que tiene delante. Cada una de estas moléculas imparte un cambio de momento de$mv$al objeto (donde$m$es la masa de una molécula de aire). ¿Cuántas moléculas golpeamos? Bueno, si nos movemos por un tiempo$\Delta t$, si nuestro objeto tiene un área de sección transversal de$A$, barre un volumen de$A v \Delta t$, entonces la masa de aire en ese volumen es$\rho A v \Delta t$, por lo que el número de moléculas de aire es$\rho A v \Delta t / m$. ¿El cambio total en nuestro impulso es

$$\Delta p = ( \rho A v dt / m ) ( m v ) = 2 \rho A v^2 \Delta t$$ y sabemos que la fuerza es la tasa de cambio del impulso $$F = \frac{ \Delta p }{ \Delta t } = \rho A v^2$$ lo cual es correcto salvo un factor de 2 y un coeficiente de arrastre que por motivos dimensionales debería depender únicamente de la característica de nuestro cuerpo (forma, superficie) y el número de Reynold.

Navier Stokes

También podemos ver la importancia del número de Reynolds directamente en la ecuación de Navier Stokes. Si comienza con la ecuación de Navier Stokes para flujo incompresible:

$$\frac{\partial \vec v}{\partial t} + ( \vec v \cdot \nabla )\vec v = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \vec v, \qquad \nabla \cdot \vec v = 0$$ y adimensionalizarlos eligiendo un tamaño característico $D$y velocidad $V$, tu obtienes: $$\frac{\partial \vec v}{\partial t} + ( \vec v \cdot \nabla) \vec v = - \nabla p + \frac{1}{\text{Re}} \nabla^2 \vec v, \qquad \nabla \cdot \vec v = 0$$ Donde aquí queda claro que el número de Reynolds es solo la importancia de la $\nabla^2 v$término en la ecuación. Eso es si necesita considerar el laplaciano del campo de velocidad. Es decir, cuánto trata el fluido de hacer consistentes sus velocidades en las regiones cercanas. Si el número de Reynolds es alto, este término desaparece, por lo que podemos tener cambios locales muy marcados en el campo de velocidad, es decir, flujo turbulento.