¿Cómo se derivan las reglas de Feynman, en general?

Aquí ya se han hecho algunas preguntas sobre la derivación de las reglas de Feynman en instancias específicas (p. ej., Signo de las reglas de Feynman con acoplamientos derivados , Reglas de Feynman para sistemas acoplados , ¿Cómo podemos derivar la regla de Feynman para el QED ordinario de 3 vértices ?, Receta para calcular factores de vértice en diagramas de Feynman ). Sin embargo, parece faltar una discusión más general, de ahí esta pregunta.

  1. ¿Cómo se derivan las reglas de Feynman para una teoría genérica a partir de la densidad lagrangiana ? ¿Cómo se relacionan entre sí las diversas metodologías (por ejemplo, segunda cuantificación, cuantificación funcional)? ¿Cuándo (o si) es preferible uno a los demás?

  2. ¿Cuándo y por qué hay complicaciones adicionales (como los procedimientos de Faddeev-Popov ) involucradas en la derivación de las reglas?

Siento que, aunque parece una buena pregunta, probablemente sea demasiado amplia para responder de manera significativa y completa (en este sitio). Simplemente leer un libro de texto parece una forma más natural de hacerlo.
@Danu Bueno, no espero una respuesta extremadamente larga que explique en detalle todas las matemáticas involucradas en el proceso de derivación de las reglas de Feynman (por lo tanto, probablemente solo repita lo que se puede encontrar en la mayoría de los libros). Lo considero más como una pregunta que solicita un resumen breve (o no breve) de cómo los diferentes procedimientos de cuantificación conducen a las reglas de Feynman desde varios puntos de vista, y cuáles son las cosas generales más importantes a tener en cuenta en los diversos casos. . Lo mismo para la segunda parte de la pregunta.

Respuestas (1)

  1. La forma más sencilla es observar la amplitud del proceso arbitrario (matriz S), expandirla en una serie de alguna constante, luego usar el teorema de Wick y, finalmente, obtener que la n-ésima amplitud consiste en la suma de las multiplicaciones de todos números posibles de propagadores y operadores de campo de orden normal.

    A veces es conveniente utilizar métodos no perturbativos. Formalmente, significa que cambiamos la representación de interacción a la representación de Heisenberg e introducimos funciones de n puntos. Se puede demostrar que la función de n puntos en la imagen de Heisenberg

    (1) ⟨ | T ^ ( φ ^ 1 H . . . φ ^ norte H ) | ⟩
    consiste en todos los diagramas de Feynman con norte líneas externas para una teoría dada. Al usar esta idea, puede "probar" las reglas de Feynman incluso en el formalismo no perturbativo, pero con la modificación de los campos, la masa y las constantes de límite (teorema LSZ).

    La conexión entre el formalismo de operadores y el formalismo de integración de caminos está en los diferentes métodos de cálculo de funciones de n puntos. Por ejemplo, en términos de integración de rutas ( 1 ) parece

    ⟨ | T ^ ( φ ^ 1 H . . . φ ^ norte H ) | ⟩ = [ d d j 1 . . . d d j norte ∫ D φ 1 . . . D φ norte mi i S [ φ ] + i ∫ d 4 X j i φ i ] j = 0 .

    El formalismo de integración de rutas es muy conveniente porque incluye la acción completa de la teoría (no solo los sumandos de interacción), por lo que contiene toda la información sobre las simetrías de la teoría. Ayuda a derivar relaciones para funciones de vértice (como identidades de Slavnov-Taylor, identidades de Ward, etc.). También puede "derivar" las reglas de Feynman utilizando solo el formalismo de integración de rutas.

  2. Las complicaciones de la descripción en su mayoría pueden aparecer solo cuando usa una descripción no perturbadora para los procesos. Hay tres ejemplos.

    1. Cuando se usa la teoría de perturbaciones estándar (expandiendo el operador S en una serie), automáticamente no se tienen en cuenta los estados acotados (como el pión) y las configuraciones topológicas (como los instantenes) que también aparecen en la teoría de la interacción. Pero los métodos no perturbadores permiten tener en cuenta estas complicaciones.

    2. Cuando asume alguna teoría con conexiones del primer tipo entre coordenadas canónicas y cantidad de movimiento (como las teorías de calibre), necesita eliminar este problema, porque no permite determinar un conjunto independiente de variables dinámicas (es decir, cuantificar la teoría). Pero cuando usa alguna condición de calibre, ayuda a eliminar el problema (en el lenguaje de la integración de rutas significa que reduce el número de integraciones en los campos que se encuentran en la órbita del calibre), pero el pago por esto es la aparición de un campo ficticio. (fantasmas).

    3. A veces, algunas simetrías se rompen en la descripción no perturbativa. Por ejemplo, es bien conocida la violación de la simetría CP (cuando se asumen construcciones topológicas en el formalismo de integral de trayectoria) y la simetría quiral.

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