¿Por qué las derivadas en términos de interacción se tratan de manera diferente a las derivadas en el término cinético?

Esto tiene que ver con la forma en que establecemos la teoría de la perturbación, tratando parte del Lagrangiano como "libre" y, por lo tanto, tratado exactamente, y el resto como la "perturbación". Como un ejemplo muy simple. considere la integral de Gauss

$$I = \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-a^2 x^2 - \epsilon^2 x^2}.$$ El valor exacto de esta integral es $$I = \sqrt{\frac{\pi}{a^2 + \epsilon^2}}$$ donde ambos$a$y$\epsilon$terminar en el denominador. Por otro lado, podemos pensar en$e^{-a^2 x^2}$como la parte "libre" y$e^{-\epsilon^2 x^2}$como la "perturbación". Luego al orden más bajo en$\epsilon$, $$I \approx \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-a^2 x^2} (1 - \epsilon^2 x^2) = \frac{\sqrt{\pi}}{a} - \frac{\sqrt{\pi}}{2a^3} \epsilon^2.$$ así que mientras$\epsilon$estaba originalmente en el denominador, al tratarlo como una perturbación termina en el numerador; esto queda claro con solo Taylor expandiendo nuestra expresión exacta para$I$. Sumando todas las contribuciones,$\epsilon$termina de nuevo en el denominador como se esperaba.

Esencialmente, sucede lo mismo cuando se derivan las reglas de Feynman con la formulación de la integral de trayectoria. Esto es más visible en la teoría de la perturbación renormalizada donde el mismo término cinético aparece tanto en la parte "libre" como en la de "perturbación".

Hablando informalmente (no sé si esto se puede afirmar con más rigor) podemos tratar los términos cinéticos como si tuvieran la regla de Feynman$\sim p^2$, en algún sentido.

Considere el caso masivo:$\mathcal{L}=|\partial\phi|^2 - m^2\phi^2$. Podríamos decir que tenemos una regla de Feynman dando$-p^2$para vértices con dos campos. Entonces tendríamos$1/m^2$como el propagador de orden principal y la suma de todas las contribuciones sería:

$$\frac{1}{m^2} - \frac{1}{m^2} p^2 \frac{1}{m^2} + \frac{1}{m^2} p^2 \frac{1}{m^2} p^2 \frac{1}{m^2} + \cdots = \frac{1}{p^2 + m^2}.$$

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Lo que es inevitable al hacer la teoría de la perturbación es separar una parte cuadrática para poder calcular

$$\left<\mathcal{O}\right> = \int D\phi \, \mathcal{O}(\phi) \,e^{\int\phi D \phi + iS_{\text{int}}(\phi)}$$

calculando el inverso de algún operador diferencial$D$, que da propagador, y expandiendo$e^{S_{\text{int}}}$en poderes de$\phi$. Entonces, al final, obtenemos lo que sea que haya dentro.$D$(incluido$p^2$) en el denominador y las cosas que aparecen en$S_{int}$en el numerador.