Use mi ejemplo para explicar por qué el diagrama de bucle no ocurrirá en la ecuación de movimiento clásica.

1. Expansión perturbativa. OP$\phi^4$El ejemplo de la teoría es un caso especial. Consideremos una acción general de la forma

   $$S[\phi] ~:=~\underbrace{S_2[\phi]}_{\text{quadratic part}} + \underbrace{S_{\neq 2}[\phi]}_{\text{the rest}}, \tag{1}$$ con parte cuadrática no degenerada$^1$ $$S_2[\phi] ~:=~\frac{1}{2} \phi^k (S_2)_{k\ell} \phi^{\ell} . \tag{2}$$ El resto$^2$ $S_{\neq 2}=S_0+S_1+S_{\geq 3}$contiene términos constantes$S_0$, términos de renacuajo$S_1[\phi]=S_{1,k}\phi^k$y términos de interacción$S_{\geq 3}[\phi]$.

2. La función de partición$Z[J]$puede escribirse formalmente como

   $$\begin{align} Z[J] ~:=~~~& \int {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\left(S[\phi] +J_k \phi^k \right)\right\} \cr ~\stackrel{(1)}{=}~~~& \exp\left\{\frac{i}{\hbar} S_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\}\cr &\int {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\left(S_2[\phi] +J_k \phi^k \right)\right\} \cr \stackrel{\text{Gauss. int.}}{\sim}&~ {\rm Det}\left(\frac{1}{i} (S_2)_{mn}\right)^{-1/2}\cr &\exp\left\{\frac{i}{\hbar} S_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\} \cr &\exp\left\{- \frac{i}{2\hbar} J_k (S_2^{-1})^{k\ell} J_{\ell} \right\}, \end{align}\tag{3}$$ después de una integración gaussiana. Aquí$^1$ $$G^{k\ell}~=~-(S_2^{-1})^{k\ell} \tag{4}$$ es el propagador libre. El lado derecho de la ec. (3) representa la suma de todos$^3$Diagramas de Feynman construidos a partir de vértices, propagadores libres y fuentes externas$J_k$.

3. Ecuaciones de Euler-Lagrange (EL)$^4$

   $$- J_k ~\approx~\frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi^k}~\stackrel{(1)+(2)}{=}~ (S_2)_{k\ell}\phi^{\ell} +\frac{\delta S_{\neq 2}[\phi]}{\delta \phi^k} \tag{5}$$ se puede convertir en una ecuación de punto fijo$^5$ $$\phi^{\ell}~\approx~-(S_2^{-1})^{\ell k}\left( J_k + \frac{\delta S_{\neq 2}[\phi]}{\delta \phi^k} \right),\tag{6}$$ cuyas iteraciones repetidas generan árboles (enraizados dirigidos) (con una$\phi^{\ell}$como raíz y$J$s y renacuajos como hojas), a diferencia de los diagramas de bucle, cf. Cálculo de OP. Esto responde a las preguntas de OP.

Finalmente, mencionemos a continuación algunos datos útiles más allá del nivel de árbol.

I) El teorema del cúmulo vinculado . El funcional generatriz para diagramas conexos es

$$W_c[J]~=~\frac{\hbar}{i}\ln Z[J]. \tag{7}$$

Para una prueba, vea, por ejemplo , esta publicación de Phys.SE. Entonces es suficiente estudiar diagramas conectados.

yo) El$\hbar$/bucle-expansión. Suponga que el$S[\phi]$la acción (1) no$^6$depender explícitamente de$\hbar$. Entonces el orden de$\hbar$en un diagrama conexo con$E$piernas externas$^7$es el numero$L$de bucles independientes, es decir, el número de bucles$4$-vector de onda$^8$integraciones.

Prueba. Seguimos aquí Ref. 1. Deja$I$sea ​​el número de propagadores internos y$V$el número de vértices.

Por un lado, para cada vértice existe una función delta de Dirac de 4 vectores de onda. Excepto por 1 vértice, porque las patas externas ya satisfacen la conservación total del vector de onda. (Recuerde que la invariancia de traducción del espacio-tiempo implica que cada diagrama de Feynman conectado en el espacio de vectores de onda es proporcional a una función delta de Dirac que impone la conservación total de 4 vectores de onda).$V$los vértices por lo tanto dan sólo$V-1$restricciones entre los$I$Integraciones de vectores de onda. En otras palabras, el número de bucles independientes es$^9$

$$L~=~I-(V-1). \tag{8}$$ Por otra parte, se sigue$^{10}$de la derecha de la ec. (3) que tenemos uno$\hbar$para cada propagador interno, ninguno para cada pierna externa, y uno$\hbar^{-1}$para cada vértice. También hay un único factor extra de$\hbar$de la derecha. de la ec. (7). En conjunto, el poder de$\hbar$s del diagrama conectado es $$\hbar^{I-V+1}~\stackrel{(8)}{=}~\hbar^{L},\tag{9}$$ es decir, igual al número$L$de bucles$\Box$

III) En particular, el funcional generatriz de diagramas conexos

$$W_c[J]~=~W_c^{\rm tree}[J]+W_c^{\rm loops}[J]~\in~ \mathbb{C}[[\hbar]]\tag{10}$$ es una serie de potencias en$\hbar$, es decir, no contiene poderes negativos de$\hbar$. Por el contrario, la función de partición $$Z[J]~=~\underbrace{\exp(\frac{i}{\hbar}W_c^{\rm tree}[J])}_{\in \mathbb{C}[[\hbar^{-1}]]}~\underbrace{\exp(\frac{i}{\hbar}W_c^{\rm loops}[J])}_{\in \mathbb{C}[[\hbar]]}\tag{11}$$ es una serie de Laurent en$\hbar$.

Referencias:

1. C. Itzykson & JB Zuber, QFT, 1985, Sección 6-2-1, p.287-288.

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$^1$Usamos la notación condensada de DeWitt para no saturar la notación. Si deletreamos la ec. (2) en todo su esplendor se lee

$$S_2[\phi]~=~\frac{1}{2}\int\!d^dx\int\!d^dy~\phi^{\alpha}(x)~(S_2)_{\alpha\beta}(x,y)~\phi^{\beta}(y)\tag{12}$$ después de una posible integración por partes. Aquí el kernel de integración es típicamente de la forma $$(S_2)_{\alpha\beta}(x,y)~=~\delta_{\alpha\beta}~(\Box-m^2)\delta^d(x-y)\tag{13}$$ con el$(-,+,...,+)$Convención de signos de Minkowski. Si imponemos condiciones de contorno apropiadas en la ec. (4), el núcleo de integración inversa $$(S_2^{-1})^{\alpha\beta}(x,y)~=~\delta^{\alpha\beta}~(\Box-m^2)^{-1}\delta^d(x-y)~=~-G^{\alpha\beta}(x,y)\tag{14}$$ es menos la función de Green $$(-\Box+m^2)G^{\alpha\beta}(x,y)~=~\delta^{\alpha\beta} ~\delta^d(x-y)\tag{15}$$ con transformada de Fourier $$\widetilde{G}^{\alpha\beta}(k)~=~\frac{\delta^{\alpha\beta}}{k^2+m^2-i\epsilon}.\tag{16}$$

$^2$Si dividimos la acción

$$S[\phi] ~=~\underbrace{S_1[\phi]+S_2[\phi]}_{\text{free part}}+\underbrace{S_{\neq 12}[\phi]}_{\text{the rest}}\tag{17}$$ (al incluir renacuajos en la parte libre), entonces el factor de propagación en el RHS de eq. (3) se convierte $$\exp\left\{- \frac{i}{2\hbar} (S_{1,k}+J_k) (S_2^{-1})^{k\ell} (S_{1,\ell}+J_{\ell}) \right\}.\tag{18}$$ Por el contrario, podríamos permitir formalmente términos cuadráticos en el$S_{\neq 2}$parte también, por ejemplo, si queremos tratar un término de masa como una interacción de 2 vértices. Por supuesto, esto arruinaría la lógica detrás de la etiqueta de subíndice de la notación.$S_{\neq 2}$, pero ese es un premio aceptable a pagar :)

$^3$El factor determinante de Gauss${\rm Det}\left(\frac{1}{i} (S_2)_{mn}\right)^{-1/2}$(que normalmente ignoramos) se interpreta como diagramas de Feynman construidos a partir de propagadores libres solo sin vértices, aunque la interpretación precisa es bastante sutil. Por ejemplo, tenga en cuenta que si reclasificamos el término de masa en el propagador libre como un$2$-interacción de vértice, la contribución de masa se desplaza del factor determinante a la parte de interacción en la ecuación. (3).

$^4$El$\approx$símbolo significa igualdad módulo eqs. de movimiento

$^5$De hecho, la ec. (6) puede verse como una ópera . Un poco simplificado, mientras que un operador tiene una entrada y una salida, un operador puede tener varias entradas, pero aún así solo una salida. Las operaciones se pueden componer juntas y, por lo tanto, formar un árbol (con raíz dirigida) (siendo la única salida la raíz).

$^6$Para mantener la acción$S$sin explícito$\hbar$-dependencia, es posible que tengamos que redefinir adecuadamente los parámetros de masa $m^{\prime}=\frac{mc}{\hbar}$, constantes de acoplamiento $e^{\prime}=\frac{e}{\hbar}$, etc. Si los términos de interacción en la acción$S$depender de$\hbar$, entonces un diagrama contendrá la potencia de bucle habitual$L$de$\hbar$s más una serie de potencias de$\hbar$de los vértices correspondientes.

$^7$Suponemos que las fuentes$J_k$se eliminan del diagrama de Feynman o son funciones delta en el espacio de vectores de onda, de modo que las patas externas llevan vectores de onda 4 fijos.

$^8$Para no introducir factores extra de$\hbar$cuando hacemos la transformada de Fourier, trabajemos con 4 vectores de onda $k$en lugar de 4 impulsos$p=\hbar k$.

$^9$Si el diagrama de Feynman es plano, entonces es una malla poligonal de un disco , es decir, su característica de Euler es$\chi=1$. Comparando con la ec. (8), vemos que el número$L$de bucles independientes es entonces el número de caras.

$^{10}$El lado derecho de la ec. (3) produce que un propagador unido a$n$fuentes contribuye con un factor$\hbar^{1-n}$, dónde$n\in\{0,1,2\}$.

Mis palabras no ayudarán a responder la pregunta, pero solo quiero aclarar algo sobre la analogía entre la teoría clásica del campo perturbativo y las amplitudes del nivel del árbol QFT.

• La teoría del campo cuántico a nivel de árbol, que describe experimentos de dispersión de un número muy pequeño de excitaciones cuánticas alrededor del vacío, son fenómenos mecánicos altamente cuánticos.

• La teoría clásica de campos, por otro lado, describe la dispersión entre ondas clásicas. El comportamiento de un gran grupo de excitaciones QFT podría aproximarse mediante ondas clásicas.

Son dos regímenes de física completamente diferentes, no hay forma de que una teoría de campo clásica pueda dar lugar a experimentos de dispersión cuántica, aunque da lugar a análogos de diagramas de nivel de árbol.

Esta puede ser solo mi propia pequeña resolución de mi propia pequeña confusión, pero he escuchado a personas intercambiar descuidadamente el término clásico y nivel de árbol.

Como ejemplo de esta falta de analogía: si bien la violación de la unitaridad es una gran preocupación para QFT a nivel de árbol, no creo que tenga ninguna relevancia para la dispersión de ondas clásica, siempre que la onda sea clásica (la energía de la onda es lo suficientemente alta como para contienen muchos cuantos de campo).(Lo siento, este ejemplo probablemente sea incorrecto)

La explicación de Qmechanic es nítida y precisa. Sin embargo, permítanme dar una explicación más simple pero limitada: -

Empezando por la integral de trayectoria. obtenemos el límite clásico tomando h tendiendo al límite cero. En este límite el término de orden principal que contribuye a la generación funcional es la acción clásica. La variación de primer orden es cero y estamos ignorando la variación de segundo orden. Ahora bien, como la contribución completa es de la acción clásica, EOM se satisface y los estados externos obedecen a la relación de dispersión Ep habitual

Sin embargo, en una integral de bucle, integramos los 4 componentes de los momentos y los tratamos como independientes, es decir, los momentos están fuera de la estructura, lo que, como se explicó anteriormente, no puede suceder si se ha tomado el límite clásico.

Por supuesto, este argumento solo se limita a comprender por qué no podemos tener bucles en las piernas externas en el límite clásico. Este argumento no restringe los bucles en las líneas internas.

¿Alguien puede señalar si hay algún defecto importante en este argumento y si se puede modificar para hacer una declaración sobre no tener bucles en las líneas internas?

La mejor manera de entender esto son las ecuaciones de Schwinger Dyson. Leer de Matthew Schwarz.