Confusión sobre los estados de entrada y salida, la interacción del espacio de Hilbert, etc., en referencia a Weinberg QFT

Hay muchas publicaciones relacionadas con este tema en este sitio, pero no he encontrado ninguna que responda a mis preguntas específicas sobre este asunto.

Reviso mi comprensión del enfoque de Weinberg. Probablemente haya algunos conceptos erróneos en todo momento y estoy muy agradecido si alguien puede aclarar alguno de ellos. También haré algunas preguntas más concretas.

Entonces tenemos los operadores hamiltonianos completos H y el hamiltoniano libre H 0 y la diferencia es algo de potencial V

(3.1.8) H = H 0 + V .
También tenemos espacios de Hilbert correspondientes H y H 0 , dónde H 0 es un Fock-espacio familiar que de alguna manera está incrustado en H , en otras palabras H 0 es sub-Hilbert-espacio de H . Una suposición fundamental es que los espectros de valores propios mi α de H y H 0 coincidir. Aunque esto es misterioso para mí, puedo aceptarlo.
Ahora H 0 está bien definido. Está atravesado por los estados propios de energía ortonormales Φ α ,
(3.1.9) H 0 Φ α = mi α Φ α ,
eso es cualquiera Φ ∈ H 0 Se puede escribir como
Φ = ∫ d α   gramo ( α ) Φ α ,
dónde gramo es una función de onda (momento-espacio) (para la explicación de la α notación a la que me refiero en el libro). Supongo que no podemos escribir ninguna Ψ ∈ H de esta manera, de lo contrario simplemente tendríamos H ≃ H 0 , que por supuesto es trivial, ¿verdad?

Ahora considere los estados propios de energía de H . Como su espectro es el mismo que H 0 también podemos etiquetarlos por α . Sin embargo, parece haber otra suposición fundamental. Es decir, que existen dos conjuntos de estados propios Ψ α ± , con

(3.1.11) H Ψ α ± = mi α Ψ α ± ,
y tales que obedecen a la siguiente identidad
(3.1.12) límite t → ∓ ∞ ∫ d α   mi − i mi α t gramo ( α ) Ψ α ± = límite t → ∓ ∞ ∫ d α   mi − i mi α t gramo ( α ) Φ α
para todas las funciones de onda (¿suaves?) gramo ( α ) . Weinberg demuestra que el Ψ α ± también son ortonormales. Esto parece implicar que el Ψ α ± cada uno también abarca H 0 o al menos dos copias H 0 + ≃ H 0 − ≃ H 0 que están de alguna manera incrustados en H .

P1: Hacer Ψ α + , Ψ α − , Φ α en realidad abarcan el mismo subespacio H 0 ⊂ H ? Esto parece ser necesario para expandirlos en términos de uno al otro, lo cual se hace repetidamente a lo largo del capítulo. ¿Se puede mostrar esto? ¿Es obvio? ¿O hay que suponerlo?

También estoy confundido acerca de la interpretación física de estas definiciones. Tomo el punto de vista de la imagen de Heisenberg. Digamos que el sistema cuántico se describe como el estado Ψ ∈ H visto desde algún marco de referencia. Dice el operador hermitiano O ( t ) mide algunas propiedades relacionadas con el contenido de partículas de un estado dado. Un observador en el pasado lejano medirá el siguiente valor esperado

⟨ O ( − ∞ ) ⟩ = límite t → − ∞ ( mi − i H t Ψ , O ( 0 ) mi − i H t Ψ )
mientras que un observador en un futuro lejano medirá
⟨ O ( + ∞ ) ⟩ = límite t → + ∞ ( mi − i H t Ψ , O ( 0 ) mi − i H t Ψ ) .
Entonces tiene sentido para mí definir el estado correspondiente Ψ − y fuera del estado Ψ + como
Ψ ± ≡ límite t → ∓ ∞ mi − i H t Ψ .
P2: También tiene sentido afirmar que Ψ ± ∈ H 0 . ¿Se puede demostrar esto a partir de las suposiciones anteriores? ¿Es obvio? ¿O hay que suponerlo?

Entonces, si mi afirmación en Q1 es válida, podemos expandir Ψ ± en cualquiera Ψ α + , Ψ α − o Φ α .

P3: La base "correcta" para elegir la expansión parece ser Ψ α + para Ψ + y Ψ α − para Ψ − .

Ψ ± = ∫ d α   ( Ψ α ± , Ψ ± ) Ψ α ± .
Lo que quiero decir con "correcto" es que | ( Ψ α ± , Ψ ± ) | 2 entonces puede verse como la distribución de probabilidad de medir para O el contenido de partículas α en t → ∓ ∞ . La razón debe tener algo que ver con la interpretación de que Ψ α ± describe un estado con contenido de partículas α sólo cuando O se mide en t → ∓ ∞ , que de alguna manera debería ser equivalente a (3.1.12). ¿Es esto correcto? En caso afirmativo, ¿cómo se puede ver esto a partir de (3.1.12)? Si no, ¿cómo están? Ψ ± estar relacionado con el Ψ α ± ? El problema que tengo al tratar de poner esto sobre una base más rigurosa es la falta de caracterización del estado. Ψ .

P4: Weinberg afirma explícitamente (p.109) que los estados de entrada y salida no pueden escribirse como los límites de algún estado Ψ ( t ) para t → ∓ ∞ . Sin embargo definitorio Ψ ( t ) ≡ mi − i H t Ψ hace exactamente eso. Por supuesto, esta es solo la formulación familiar de la imagen de Schrödinger. ¿No es válido este punto de vista? ¿O Weinberg significa algo diferente aquí?

Respuestas (1)

Preliminares

Para preparar el escenario, abordaré primero un par de cuestiones preliminares y luego responderé las preguntas numeradas Q1-Q4.

Una suposición fundamental es que los espectros de valor propio... de H y H 0 coincidir. Aunque esto es misterioso para mí, puedo aceptarlo.

Por el contexto, sospecho que Weinberg (referencia 1) podría estar usando la palabra espectro con un matiz que excede su significado estándar en la literatura matemática, implicando algo sobre los estados así como sobre el espectro mismo, pero explicaré por qué la declaración es verdadera si definimos el espectro de la manera estándar. A saber: el espectro de un operador H es el conjunto de los números complejos z para cual H − z no es invertible (referencia 4). Suponer que

  • el espectro de H tiene una brecha, lo que significa que todos los estados están separados en energía del vacío por una brecha finita ≥ METRO .

  • El modelo cuyo hamiltoniano es H tiene al menos una familia de estados de una sola partícula entre los cuales la energía puede ser arbitrariamente cercana a METRO .

Entonces H y H 0 definitivamente tienen el mismo espectro. Esto es claro porque H 0 se define para tener los mismos estados de una sola partícula que H , y porque los estados de una sola partícula pueden tener energía arbitraria > METRO si el límite inferior es METRO . Por lo tanto, ambos H y H 0 tener el espectro { 0 } ∪ ( METRO , ∞ ) ⊂ R , sin importar cómo se vean los estados de múltiples partículas.

Pero aquí está el punto importante, que podría relacionarse con lo que Weinberg realmente quiso decir con espectro : la igualdad de los espectros (con la definición estándar que usé anteriormente) no implica la existencia de estados multipartícula que satisfagan la ecuación de Weinberg (3.1.12). La justificación real para (3.1.12) es que en QFT, si existen estados de una sola partícula, entonces también podemos construir estados de múltiples partículas en los que las partículas están tan separadas que bien podrían no interactuar. A medida que se alejan entre sí (en el futuro infinito o en el pasado infinito), podemos llevarlos a acercarse a estados propios de energía. Para un tratamiento más cuidadoso de esto, vea el teorema 4.2.1 en la referencia 2.

Supongo que no podemos escribir ninguna Ψ ∈ H de esta manera, de lo contrario simplemente tendríamos H ≃ H 0 , que por supuesto es trivial, ¿verdad?

Los espacios de Hilbert H y H 0 son isomorfos ( ≃ ) entre sí, por supuesto, independientemente de los hamiltonianos H y H 0 . Realmente estás preguntando si son iguales entre sí (si el subconjunto H 0 ⊆ H es todo de H ). Bueno, los operadores H = H 0 + V y H 0 ambos actúan sobre H , y desde H 0 es una teoría de campo libre, sabemos que sus "estados de entrada/salida" abarcan todos H , entonces H 0 = H .

No estoy seguro de a qué te referías con "... lo cual, por supuesto, es trivial, ¿verdad?" pero añadiré este comentario por si acaso. Un espacio de Hilbert no tiene significado físico por sí mismo. Es solo un espacio vectorial sobre C con un producto interno, satisfaciendo algunas condiciones. En física cuántica, un modelo (o teoría) es un espacio de Hilbert junto con un mapa que dice qué operadores representan qué cosas medibles. Ejemplo: QCD y QM de una sola partícula no relativista son modelos muy diferentes, pero sus espacios de Hilbert son isomorfos entre sí. Escribí otra respuesta para ayudar a aclarar esto, porque a veces las personas dicen espacio de Hilbert cuando realmente quieren decir modelo (o teoría).

Pregunta Q1

De acuerdo con la página 3 en la referencia 3, esto no ha sido estrictamente probado de una forma u otra. Una dificultad es que la interacción V no se puede descuidar cuando el H - las partículas están muy juntas y H 0 incluye estados en los que el H 0 -las partículas están muy juntas. En lugar de una prueba, daré un argumento heurístico.

En una teoría sin interacciones, incluso si comenzamos con un estado con norte partículas colocadas una encima de la otra, la dispersión (debido al "principio de incertidumbre" habitual) eventualmente haría que sus funciones de onda se dispersaran tan finamente que el estado se aproxima bien por una superposición de estados en los que las partículas están todas lejos de entre sí.

Ahora considere la teoría de interacción, con hamiltoniano H . Empezar con un estado arbitrario Ψ y considere lo que sucede en el pasado/futuro infinito, como en su Q3. Heurísticamente, esperamos que suceda lo mismo. La posibilidad de estados ligados no es un problema, porque si algunas de las partículas permanecen unidas permanentemente, entonces ya hemos incluido ese estado ligado como una de las cosas a las que llamamos partícula en H 0 .

En conjunto, esto sugiere que aunque comenzamos con un estado arbitrario Ψ , se acerca asintóticamente (en el pasado/futuro) a una superposición de estados en los que todas las partículas están muy separadas. Si este argumento heurístico es correcto, entonces la respuesta a la pregunta P1 es sí .

Pregunta Q2

Misma respuesta que Q1.

Pregunta Q3

Si la respuesta a Q1 es realmente sí, entonces podemos expandir cualquier estado Ψ en términos de estados dentro o fuera de los estados. Expandirlo en términos de estados internos (respectivamente fuera de los estados) es más útil si queremos considerar observables que están bien localizados en el pasado lejano (respectivamente en el futuro), como sugirió. No sé cómo se puede "ver esto desde (3.1.12)" por sí mismo, pero se puede ver desde mi respuesta heurística a Q1.

Pregunta P4

Weinberg dice que no , no que no podamos . Su declaración simplemente pretende recordarnos que está usando la imagen de Heisenberg.

  1. Weinberg (1995), The Quantum Theory of Fields (Volumen I: Fundamentos) (Cambridge University Press)

  2. Haag (1996), Física cuántica local (Springer)

  3. Buchholz y Summers (2005), Scattering in Relativistic Quantum Field Theory: Fundamental Concepts and Tools ( https://arxiv.org/abs/math-ph/0509047 ), que me llamó la atención por otra respuesta

  4. Página 6 en Murphy (1990), C ∗ -Álgebras y teoría de operadores (Academic Press), y también página 180 en Debnath y Mikusiński (2005), Introducción a los espacios de Hilbert con aplicaciones (Academic Press)

¡Gracias por tu buena respuesta! Tengo algunas preguntas de seguimiento. supongo que si H = H 0 no es entonces H también un espacio Fock? Entonces, ¿cómo se reconcilia esto con la afirmación a menudo mencionada de que los estados de vacío de H 0 y H ¿no son lo mismo? ¿Se caracteriza todo lo relacionado con la teoría cuántica por cómo el mismo espacio de Hilbert se mapea en sí mismo mediante transformaciones de Poincaré, y los estados ligados son solo expresiones del hecho de que debido al hamiltoniano no trivial? H ciertas configuraciones de partículas no se disipan?
@ jkb1603 "Fock space" es solo una forma particular de construir un espacio de Hilbert. Todos los espacios de Hilbert separables de dimensión infinita (sobre C ) son los mismos en lo que respecta a su estructura de espacio de Hilbert, sin importar cómo la construyamos. Un espacio de Hilbert no sabe ni le importa cuál de sus vectores representa el estado de vacío.
@ jkb1603 El espacio de Hilbert en sí mismo no dice prácticamente nada sobre el modelo. Todo el contenido físico del modelo está codificado en el mapa que nos dice qué operadores corresponden a qué elementos físicos medibles. El hamiltoniano (que implícitamente dice qué estado es el estado de vacío) es parte de ese mapa, y la forma en que se representan las transformaciones de Poincaré es parte de ese mapa. A veces, los físicos usan la palabra "espacio de Hilbert" para incluir algunas o todas esas cosas, pero eso es confuso.
@ jkb1603 En este caso particular, los dos modelos tienen el mismo estado de vacío por construcción. Cuando la gente dice que los modelos que interactúan y los que no interactúan no tienen el mismo estado de vacío, normalmente se refieren a un modelo diferente que no interactúa, a saber, el que obtenemos al descartar todos los términos no cuadráticos en el hamiltoniano simple. Eso es muy diferente de lo que Weinberg llama el modelo de no interacción, que incluye todos los efectos de las interacciones que determinan qué estados son estados de una sola partícula (y el estado de vacío).
@ jkb1603 En otras palabras, Weinberg V aniquila el estado de vacío del hamiltoniano completo H . El desnudo V (mismo símbolo, pero un operador muy diferente) no aniquila el estado de vacío del hamiltoniano completo H .
Veo. Esto es muy esclarecedor. Estoy de acuerdo en que las diferentes terminologías son confusas. Entonces, cuando alguien dice "el espacio de Hilbert que interactúa no se puede definir como un espacio de Fock" en el marco de su punto de vista, en realidad no habla sobre el espacio de Hilbert sino sobre cómo algo sale mal con el modelo (es decir, el mapeo de observables a operadores )? ¿En qué sentido podría entenderse el enunciado "..."?
@ jkb1603 Exactamente. Los diferentes modelos pueden ser mejor atendidos por diferentes formas de construir el espacio de Hilbert, del mismo modo que los diferentes problemas de mecánica pueden ser más fáciles de resolver en diferentes sistemas de coordenadas, pero el sistema de coordenadas no importa en principio. Cuando usamos una construcción de espacio de Fock de un espacio de Hilbert, lo hacemos para simplificar el siguiente paso de definir ciertos operadores que se usarán para representar ciertas cosas medibles.
Veo. Supongo que la (¿única?) razón para la construcción de un espacio de Fock es que podemos definir la acción (es decir, la representación) de un operador en un estado multipartícula como una extensión natural (producto) de la acción en estados de una partícula. Según tengo entendido, esto podría hacerse en cualquier momento, pero el problema central es que esta acción cambia a medida que traducimos el sistema en el tiempo. En este sentido, es una afirmación no trivial que, dado que decimos que los estados internos se transforman como un producto de los estados de una partícula, los estados externos se transforman de la misma manera. ¿Es correcto este entendimiento?
@ jkb1603 Sí, esa es una buena manera de decirlo. Los operadores que crean partículas internas son operadores diferentes a los que crean partículas externas debido a la evolución del tiempo intermedio, pero deberían transformarse de la misma manera. Las cosas pueden complicarse bastante en el medio, cuando las partículas no están bien separadas. En general, tratar de describir ese desorden intermedio en términos de partículas físicas ni siquiera siempre tiene sentido, algo así como "río" no siempre tiene sentido en medio de un cruce complicado entre dos o más ríos. Es un concepto más útil cuando están separados.
@ChiralAnomaly, ¿puede explicar cuál es la motivación detrás de la condición en la ecuación (3.1.12)?
@MuntafaMubarratMahi En el lado derecho de (3.1.12), las partículas no interactúan entre sí en absoluto (para cualquier valor de τ ), por definición de H 0 . Las interacciones están incluidas en H , pero disminuyen al aumentar la distancia entre las partículas. La condición (3.1.12) está motivada por la idea de que en un experimento de dispersión, en un futuro lejano (o pasado lejano), las partículas estarán tan lejos unas de otras que las interacciones entre ellas serán insignificantes.
@ChiralAnomaly pero aquí Weinberg dice que está trabajando en Heisenberg Picture. Por lo tanto, las ecuaciones en (3.1.12) no significan evolución temporal del estado si no me equivoco.
@MuntafaMubarratMahi Tienes razón en que está usando la imagen de Heisenberg, pero los factores explícitos de Exp ⁡ ( − i mi α τ ) en el integrando de (3.1.12) funcionan como lo harían los operadores de evolución temporal en la imagen de Schrödinger. Si multiplicamos el lado izquierdo de (3.1.12) por Exp ⁡ ( i H τ ) A ( 0 ) para algún operador A ( 0 ) , entonces hemos aplicado efectivamente un operador de Heisenberg A ( τ ) al estado independiente del tiempo Ψ α ± , porque el otro factor Exp ⁡ ( − i H τ ) ya está en el integrando (la ecuación en la parte superior de la página 110). Lo mismo a la derecha, pero con H 0 en lugar de H .
Confusión sobre los estados de entrada y salida, la interacción del espacio de Hilbert, etc., en referencia a Weinberg QFT
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