Sustitución trigonométrica inversa para integrales

Estoy tratando de resolver esta integral por sustitución trigonométrica inversa.

$$\int_{0}^1{\sqrt{4kx-k^2x^2}dx}$$ donde k es una constante arbitraria. Completé el cuadrado para obtener esto: $$\int_{0}^1\sqrt{2^2-(kx-2)^2}dx$$ Entonces, sustituí$kx-2=2\sin \theta$en la integral para obtener: $$\int_{-\pi/2}^{\sin^{-1}(\frac{k-2}{2})}2\cos{\theta}\frac{2}{k}\cos\theta d\theta \\ =\frac{2}{k}\int_{-\pi/2}^{\sin^{-1}(\frac{k-2}{2})}2\cos^2{\theta}+1-1d\theta \\ =\frac{1}{k}\int_{-\pi/2}^{\sin^{-1}(\frac{k-2}{2})}2\cos(2\theta)+2d\theta \\ =\frac{1}{k}(\sin(2\theta)+2\theta)|_{-\pi/2}^{\sin^{-1}(\frac{k-2}{2})}$$ Sin embargo, cuando traté de comprobar sustituyendo$k=2$, Yo obtengo $$\int_{0}^1{\sqrt{4\cdot2\cdot x-2^2x^2}dx}=1.333333754$$ pero mi respuesta vuelve $$\frac{1}{k}(\sin(2\theta)+2\theta)|_{-\pi/2}^{-\sin^{-1}(\frac{k-2}{2})}=1.570796327$$ No estoy seguro de dónde me he equivocado con mi sustitución. Pensé que simplemente omití un múltiplo de 2, pero ese no fue el caso. Muchas gracias por su ayuda.