¿Cuál es la fórmula correcta para el método de la lavadora?

Question

¿Cuál es la fórmula correcta para el método de la lavadora?

volumen
cálculo
integración
Matemáticas
integrales definidas
sólido de revolución

jackson

Casi en todas partes que miro, la fórmula es:

π \int_{b}^{a} (F (X)^{2} - gramo (X)^{2}) d X

$\pi \int_b^a {\left(f(x)^2 - g(x)^2\right) dx}$

donde f(x) es la función grande y g(x) es la función más pequeña.

Aunque me he encontrado con problemas al calcular el volumen usando esta fórmula, y a través de prueba y error he encontrado que a veces la fórmula correcta para usar es:

π \int_{b}^{a} (F (X) - gramo (X))^{2} d X

$\pi \int_b^a {(f(x) - g(x))^2 dx}$

Estos son muy diferentes, y me estoy confundiendo bastante sobre qué fórmula es la correcta. Las preguntas que usan la segunda fórmula son todas de mi libro de texto, mientras que mi profesor usa la primera fórmula durante las conferencias.

¿Es uno de estos correcto? ¿Son ambos correctos y solo para diferentes preguntas? Gracias por cualquier ayuda.

doug m

La primera fórmula es la correcta. Si desea mostrar un ejemplo y su trabajo que lo lleve a la conclusión de que el segundo podría ser correcto, podemos intentar aclarar las cosas.

Mirko

Su afirmación de que por prueba y error ha determinado que la segunda fórmula es correcta me parece muy sospechosa, en particular en ausencia de cualquier ejemplo de apoyo cuando la segunda fórmula funciona mejor. ¿Está seguro? (En cualquier caso, la segunda fórmula no es correcta, incluso si ocasionalmente puede producir una respuesta correcta, por coincidencia, y no espero que eso suceda muy a menudo, solo en algunas condiciones muy especiales que prácticamente nunca se cumplen. No use él.)

Respuestas (3)

¿Cuál es la fórmula correcta para el método de la lavadora?

La primera fórmula es la correcta. Si desea mostrar un ejemplo y su trabajo que lo lleve a la conclusión de que el segundo podría ser correcto, podemos intentar aclarar las cosas.
Su afirmación de que por prueba y error ha determinado que la segunda fórmula es correcta me parece muy sospechosa, en particular en ausencia de cualquier ejemplo de apoyo cuando la segunda fórmula funciona mejor. ¿Está seguro? (En cualquier caso, la segunda fórmula no es correcta, incluso si ocasionalmente puede producir una respuesta correcta, por coincidencia, y no espero que eso suceda muy a menudo, solo en algunas condiciones muy especiales que prácticamente nunca se cumplen. No use él.)

David G. Cigüeña · Answer 1

La primera ecuación es correcta y la segunda incorrecta.

Solo estudia esta figura donde $f(x) - g(x)$ es lo mismo para el rojo y el azul. Tu segunda ecuación dice incorrectamente que tienen la misma área.

Mirko · Answer 2

La primera fórmula es correcta, sujeta a la confusión de que la mayoría de los libros (que uso para enseñar y que no son de mi elección) no explican claramente cuáles son estos $f(x)$ y $g(x)$ . (O eso, o los estudiantes tratan de leer demasiado rápido y pasan por alto lo que estos $f(x)$ y $g(x)$ se supone que denotan, pero en cualquier caso encuentro la notación $f(x)$ y $g(x)$ antinatural y desafortunado en este contexto, y no es de extrañar por qué los estudiantes estarían confundidos).

En tu pregunta llamas a estos $f(x)$ y $g(x)$ "función grande" y "función pequeña" y sospecho que es posible que no comprenda bien cuáles son (aunque, por supuesto, puedo estar equivocado). En cualquier caso, preferiría llamarlos "gran radio" y "pequeño radio", y los denotaría, por ejemplo, con $R(x)$ (el gran radio) y $r(x)$ (el radio pequeño). Dependen no solo de las funciones que describen una región acotada, sino también del eje de revolución. En esta notación, la fórmula correcta se convierte en

π \int_{a}^{b} (R (X))^{2} - (r (X))^{2} d X

$\pi \int_a^b\big(R(x)\big)^2 - \big(r(x)\big)^2 dx$ (asumiendo que usamos arandelas y el eje de revolución es horizontal). (Por cierto, ¿por qué tienes los límites

a, b

$a,b$ al revés en tu pregunta?)

Digamos que la región está limitada por las curvas $y=x^2$ y $y=3x.$ se cruzan cuando $x^2=3x$ , eso es $x^2-3x=x(x-3)=0$ con soluciones $x=0$ y $x=3$ , y estos son los $a$ y $b$ esos son los límites de la integración. Tenga en cuenta que cuando $0<x<3$ tenemos $x^2<3x$ , entonces $x^2$ es la función más pequeña (en este intervalo $[0,3]$ ) y $y=3x$ es la función más grande, de las dos. (Por favor, dibuje una imagen usted mismo).

Ahora digamos que el eje de revolución es el $x$ -eje, tenga en cuenta que tiene ecuación $y=0$ . Para encontrar el radio grande $R(x)$ restamos el $y=0$ (describiendo el eje de revolución) de la gran $y=3x$ para obtener $R(x)=3x-0=3x$ . Del mismo modo, para obtener el radio pequeño $r(x)$ restamos el $y=0$ (que describe el eje de revolución) desde el pequeño $y=x^2$ para obtener $r(x)=x^2-0=x^2$ . la integral es

π \int_{0}^{3} (3 X)^{2} - (X^{2})^{2} d X

$\pi \int_0^3 (3x)^2 - (x^2)^2\ dx$

A continuación, digamos que consideramos exactamente la misma región, pero con diferente eje de revolución, la línea $y=-1$ . Esto cambiaría el sólido y su volumen, y la integral. De nuevo, para encontrar el radio grande $R(x)$ restamos el $y$ describiendo el eje de revolución desde el gran $y$ , pero esta vez el $y$ describir el eje de revolución es $y=-1$ (no $y=0$ ), mientras que los grandes $y$ es como antes, $y=3x$ . Así que restamos el $y=-1$ desde el $y=3x$ para obtener el radio grande $R(x)=3x-(-1)=3x+1$ . Para el pequeño radio tenemos $r(x)=x^2-(-1)=x^2+1$ . la integral es

π \int_{0}^{3} (3 X + 1)^{2} - (X^{2} + 1)^{2} d X

$\pi \int_0^3 (3x+1)^2 - (x^2+1)^2\ dx$

Finalmente diga (para la misma región) el eje de revolución es la línea horizontal $y=9$ . Tenga en cuenta que la gráfica de esta línea está más arriba que las gráficas de $y=3x$ y $y=x^2$ en el intervalo $[0,3]$ . Entonces, esta vez para obtener el radio grande, restamos el menor $y$ , a saber $y=x^2$ desde el $y$ que describe el eje de revolución, a saber $y=9$ . Eso es, $R(x)=9-x^2$ . Para el radio más pequeño restamos el más grande $y$ , a saber $y=3x$ de (aún más grande) $y$ describiendo el eje de revolución $y=9$ , para obtener $r(x)=9-3x$ . Al final la integral es

π \int_{0}^{3} (9 - X^{2})^{2} - (9 - 3 X)^{2} d X

$\pi \int_0^3 (9-x^2)^2 - (9-3x)^2\ dx$

henry lee · Answer 3

solo piensa en la formula $\pi r^2$ , desea que el área esté delimitada por:

r_{i norte norte mi r} \leq r \leq r_{o tu t mi r}

$r_{inner}\le r\le r_{outer}$ entonces va a ser:

\underset{exterior}{\underset{⏟}{π \int F^{2} d X}} - \underset{interno}{\underset{⏟}{π \int {gramo}^{2} d X}} = π \int (F^{2} - {gramo}^{2}) d X

$\underbrace{\pi\int f^2\,dx}_{\text{outer}}-\underbrace{\pi\int g^2\,dx}_{\text{inner}}=\pi\int(f^2-g^2)\,dx$

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David G. Cigüeña

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