Integración de secante [duplicado]

$$\begin{align*}\int\sec x\,\mathrm dx&=\int\frac1{\cos x}\,\mathrm dx\\&=\int\frac{\cos x}{\cos^2x}\,\mathrm dx\\&=\int\frac{\cos x}{1-\sin^2x}\,\mathrm dx.\end{align*}$$ Ahora haciendo$\sin x=t$y$\cos x\,\mathrm dx=\mathrm dt$, usted obtiene$\displaystyle\int\frac{\mathrm dt}{1-t^2}$. Pero $$\begin{align*}\int\frac{\mathrm dt}{1-t^2}&=\frac12\int\frac1{1-t}+\frac1{1+t}\,\mathrm dt\\&=\frac12\left(-\log|1-t|+\log|1+t|\right)\\&=\frac12\log\left|\frac{1+t}{1-t}\right|\\&=\frac12\log\left|\frac{(1+t)^2}{1-t^2}\right|\\&=\log\left|\frac{1+t}{\sqrt{1-t^2}}\right|\\&=\log\left|\frac{1+\sin x}{\sqrt{1-\sin^2x}}\right|\\&=\log\left|\frac1{\cos x}+\frac{\sin x}{\cos x}\right|\\&=\log|\sec x+\tan x|.\end{align*}$$

Un método alternativo: el truco aquí es multiplicar$\sec{x}$por$\dfrac{\tan{x}+\sec{x}}{\tan{x}+\sec{x}}$, luego sustituya$u=\tan{x}+\sec{x}$y$du=(\sec^2{x}+\tan{x}\sec{x})~dx$:

$$\int \sec{x}~dx=\int \sec{x}\cdot \frac{\tan{x}+\sec{x}}{\tan{x}+\sec{x}}~dx=\int \frac{\sec{x}\tan{x}+\sec^2{x}}{\tan{x}+\sec{x}}~dx=\int \frac{1}{u}~du=\cdots$$

No es obvio, aunque es eficiente.

Después$\int \cos x \left(\frac{1}{1-\sin^2x}\right)dx$usar la transformación$z = \sin x$y$dz = \cos x \, dx$.

Editar :

$$\int\frac{1}{1-u^2}\,du = \frac{1}{2}\int\frac{(1+u)+(1-u)}{(1+u)(1-u)} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+u} + \frac{1}{1-u}\,du$$

Y use,$\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u|$

Aunque la integral se puede evaluar de manera directa utilizando un análisis real, pensé que podría ser instructivo presentar un enfoque basado en un análisis complejo. Con ese fin, ahora procedemos.

Usamos la fórmula de Euler,$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$, escribir$\displaystyle \sec(x)=\frac2{e^{ix}+e^{-ix}}=\frac{2e^{ix}}{1+e^{i2x}}$. Entonces nosotros tenemos

$$\begin{align} \int \sec(x)\,dx&=\int \frac2{e^{ix}+e^{-ix}}\\\\ &=\int \frac{2e^{ix}}{1+e^{i2x}}\,dx \\\\ &=-i2 \int \frac{1}{1+(e^{ix})^2}\,d(e^{ix})\\\\ &=-i2 \arctan(e^{ix})+C\tag 1\\\\ &=\log\left(\frac{1-ie^{ix}}{1+ie^{ix}}\right)+C\tag2\\\\ &=\log\left(-i\left(\frac{1+\sin(x)}{i\cos(x)}\right)\right)+C\tag3\\\\ &=\log(\sec(x)+\tan(x))+C'\tag4 \end{align}$$

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NOTAS:

en ir de$(1)$a$(2)$, usamos la identidad $\arctan(z)=i2\log\left(\frac{1-iz}{1+iz}\right)$

en ir de$(2)$a$(3)$, multiplicamos el numerador y el denominador del argumento de la función logaritmo por$1-ie^{ix}$. Entonces, usamos

$$\frac{1-ie^{ix}}{1+ie^{ix}}=\frac{-i2\cos(x)}{2(1-\sin(x))}=-i\frac{1+\sin(x)}{\cos(x)}$$

Finalmente, al pasar de$(3)$a$(4)$, absorbimos el término$\log(-i)$en la constante de integración$C$y etiquetó la nueva constante de integración$C'=C+\log(-i)$.

Solo para explicar la sugerencia de Lord Shark the Unknown,

$$t=\tan\frac{x}{2}\implies\sec x=\frac{1+t^2}{1-t^2},\,dx=\frac{2dt}{1+t^2}\implies\int\sec xdx=\int\frac{2 dt}{1-t^2}.$$ A partir de ese momento, se puede usar el mismo tratamiento de fracciones parciales que en muchas otras respuestas. Es cierto que la expresión así obtenida para la antiderivada es$\ln\left|\frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan\frac{x}{2}}\right|+C$en lugar de$\frac12\ln\left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+C$o$\ln|\sec x+\tan x|+C$, pero, por supuesto, todos son iguales gracias a las identidades trigonométricas adecuadas (nuevamente, obtenibles al escribir las cosas como funciones de$\tan\frac{x}{2}$).