¿Existe una solución 'cerrada' de la ecuación de Schroedinger?

¿Existe una solución cerrada para la función de onda de la ecuación de Schroedinger?

me refiero a soluciones en la forma Ψ ( X , t ) = F ( X − t , y , z , t )

que no están dadas por series infinitas.

Por ejemplo, para la función de onda 1+1D existe la solución cerrada de d'Alambert

F ( X − v t ) + F ( X + v t )
dónde v es la velocidad de propagación de la onda.

¿Hay algo que no le guste de las respuestas habituales a, por ejemplo, el pozo cuadrado infinito, el pozo cuadrado finito, el oscilador armónico o el átomo similar al hidrógeno? ¿Se opone a que sean de múltiples estados? Porque para cada uno de estos cada estado es exactamente solucionable.
¿Qué hay de las funciones de onda del hidrógeno? hiperfísica.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hydwf.html
Su solución no dispersiva del d'Alembertiano no resuelve la ecuación libre de Schroedinger. Pero el gaussiano dispersivo sí.

Respuestas (1)

Cualquier función normalizable cuadrada "agradable" F ( X ) puede ser una solución a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en algún momento. Para ver esto, considere el caso de un hamiltoniano independiente del tiempo y defina la función

F ( X , t ) ≡ mi − i H t / ℏ F ( X ) .

Es claro de la forma funcional que i ℏ ∂ F ( X , t ) / ∂ t = H F ( X , t ) , por lo que es una solución a la ecuación de Schrödinger. Si el hamiltoniano depende del tiempo, entonces podemos usar el truco de Dyson y definir

F ( X , t ) ≡ texto [ − i ℏ ∫ 0 t H ( t ′ ) d t ′ ] F ( X ) ,

dónde texto es la exponencial ordenada en el tiempo, cuyos detalles no entraré en detalle.

Esta es la forma más cerrada que obtiene una solución a la ecuación de Schrödinger, hasta que especifica un potencial.

creo que te fuiste F ( X ) en la derecha de tu segunda ecuación. Y tu T mi X pag parece ser exactamente el tipo de 'serie infinita' que OP quiere evitar.
¡Sí, gracias por señalarlo! En cuanto a la serie infinita, sí, definiendo texto es un poco evasivo pero, como dije, esto es lo más cerrado que puede obtener sin especificar el problema exacto. Si pudiéramos obtener cualquier forma cerrada, entonces QFT de tiempo finito sería MUCHO más fácil.
¿Existe una solución 'cerrada' de la ecuación de Schroedinger?
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