¿Cómo puedo probar que la carga de Noether representa realmente la conservación de la carga eléctrica?

Tengo una pregunta sobre el teorema de Noether para la invariancia de calibre global de un campo escalar complejo. Empezando desde

$$\begin{equation} \mathscr{L} = \partial_{\mu}\Phi \partial^{\mu}\Phi^{*} + \frac{m^2c^2}{2\hbar^2}\Phi\Phi^{*}, \end{equation}$$ dado que el campo es invariante globalmente, tengo una cantidad conservada que expresa la conservación de la carga. La corriente conservada para el campo anterior es $$\begin{equation} J^{\mu} = i\lambda(\Phi \partial^{\mu}\Phi^{*} - \Phi^{*}\partial^{\mu}\Phi), \end{equation}$$ lo que significa que mi cantidad conservada en un momento determinado es $$\begin{equation} Q = \int{J^0}d^3x = i\lambda\int{\bigg(\Phi \frac{\partial}{\partial t}\Phi^{*} - \Phi^{*}\frac{\partial}{\partial t}\Phi}\bigg)d^3x = constant. \end{equation}$$

Consideré la parte de la superficie de la integral eliminada por extensión de la superficie hasta el infinito, en la que la considero cero. Mi pregunta es: ¿cómo puedo probar que el integrando anterior representa en realidad la conservación de la carga eléctrica?

Supuse que podría explicarlo al no eliminar la integral espacial y recordar el teorema de Gauss o redefinir el$\lambda$parámetro, pero esto podría hacerse también para otras cantidades conservadas que no representan la conservación de la carga eléctrica. Entonces, ¿cuál puede ser una manera de probarlo?