Interacción para QED con partículas escalares cargadas

Dejar$\mathcal{L}$Sea el lagrangiano para QED habitual con partículas escalares cargadas (con fotones y electrones también):

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\bar{\psi}\left(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m \right)\psi - \partial_{\mu}\phi^*\partial^{\mu}\phi-M^2\phi^*\phi$$

Estaba tratando de mostrar que, debido a las simetrías, el Lagrangiano anterior podría escribirse de la misma manera si$\partial_{\mu} \to D_{\mu}$. Sin embargo, tengo que encontrar$D_{\mu}$. La simetría que estoy considerando es tal que

$$\psi \to \psi e^{i\Lambda(x)}$$ $$\phi \to \phi e^{i\Lambda(x)}$$ $$A_{\mu} \to A_{\mu}-\frac{1}{e}\partial_{\mu}\Lambda(x)$$

Mi intento

Desde$\psi$y$\phi$no tienen términos cruzados entre ellos, pensé que deberíamos agregar un$\mathcal{L}_{int}$(interacciones) tales que cancelaría el término

$$-e\bar{\psi}\gamma^{\mu}A_{\mu}\psi$$

que resulta de la parte fermiónica. Por eso,$\mathcal{L}_{int} = -e\bar{\psi}\gamma^{\mu}A_{\mu}\psi$Parece funcionar. Sin embargo, el bit de partículas escalares no parece simplificarse trivialmente, ya que quedan algunos términos:

$$ieA_{\mu}\left[\left(\partial^{\mu}\phi^*\right)\phi-\phi^*\partial^{\mu}\phi\right]+e^2A_{\mu}A^{\mu}\phi^*\phi$$

esto daría$D_{\mu} = \partial_{\mu}+ieA_{\mu}$.

¿Es correcto mi procedimiento? ¿Hay una forma más intuitiva de resolver esto?

Editar: se corrigió el mal uso de los conceptos como se indica en los comentarios.