¿Cómo introducir el campo electromagnético en la Teoría Cuántica de Campos?

Pruebe esta explicación para el tamaño. Recalco que es mi propia manera de entender el$U(1)$Invariancia de calibre de la electrodinámica y no lo he visto en ningún otro lugar exactamente con las mismas palabras.

La derivación que cita se suele dar en el contexto de la ecuación de Dirac o Schrödinger semiclásica (es decir, primero cuantizada o antes de que se introduzca el campo cuántico) para el electrón: el mismo razonamiento se aplica a ambos. Estas ecuaciones describen un fermión, por lo que no se pueden reinterpretar sus campos de partículas.$\psi$como un campo macroscópico, clásicamente medible: el principio de exclusión de Pauli significa que no puedes copiar tu fermión y tener$N$(dónde$N$es muy grande) partículas en el mismo estado cuántico. De lo contrario, en principio podría medir el valor complejo completo de$\psi(x,y,z,t)$con precisión arbitraria copiando$\psi$de esta manera y luego haciendo una medición clásica, algo que puedes hacer con bosones (ver más abajo).

¿Qué significa esto en el nivel de una partícula? significa que solo$|\psi|^2$tiene significado experimental para una partícula: se puede medir la probabilidad de encontrar la partícula en una posición en el espacio, pero la fase de$\psi$no tiene tal significado. Así que deberíamos ser capaces de multiplicar$\psi$por una función de fase arbitraria$e^{i\,\alpha(x,y,z,t)}$y obtener algo que signifique físicamente lo mismo. Pero, a la luz de la estructura de las ecuaciones de Dirac o Schrödinger, esto parece absurdo: con toda seguridad:

$\partial_j \left[e^{i\,\alpha(x,y,z,t)}\,\psi(x,y,z,t)\right]\neq e^{i\,\alpha(x,y,z,t)}\, \partial_j\,\psi(x,y,z,t)$

sino más bien

$\partial_j\left[ e^{i\,\alpha(x,y,z,t)}\,\psi(x,y,z,t)\right]= e^{i\,\alpha(x,y,z,t)}\, \left[\partial_j\,\psi(x,y,z,t) + i\, \psi(x,y,z,t)\,\partial_j\,\alpha(x,y,z,t)\right]$

y así tal suposición de invariancia con respecto a la fase arbitraria se invalida porque la fase evidentemente "arruina" la estructura de las ecuaciones de Dirac o Schrödinger a menos que el factor de fase$\alpha$es globalmente constante. Esto es razonable: la fase de$\psi$es definitivamente parte de las soluciones de las ecuaciones y juega un papel definido en la difracción y otros efectos de onda que tienen relación con el campo de intensidad$|\psi|^2$.

Pero uno puede "recuperar" la situación postulando que la partícula individual está acoplada a algún campo externo, de modo que las ecuaciones de Dirac o Schrödinger ahora tienen los términos que involucran este campo acoplado: si es así, podemos agregar una fase arbitraria$\alpha(x,y,z,t)$y mantenemos la ecuación global igual diciendo que, siempre que hagamos esto, debemos eliminar un equilibrio$i \partial_j\,\alpha(x,y,z,t)$del campo acoplado. Por lo tanto, concluimos que si el campo acoplado$A_j$es del todo físico, tiene que dar las mismas medidas que el campo$A_j + \partial_j\,\alpha(x,y,z,t)$: el original más cualquier campo arbitrario del formulario$\partial_j\,\alpha(x,y,z,t)$, dónde$\alpha(x,y,z,t)$es un campo escalar adecuadamente bien definido. Pero hay un campo que se comporta exactamente así: el cuadripotencial electromagnético. Podemos agregar un degradado espacial$\nabla \alpha$a la parte vectorial y al mismo tiempo agregar el escalar$\partial_t\alpha$al potencial eléctrico escalar sin afectar el eléctrico$\mathbf{E}$y magnético$\mathbf{B}$campos.

Así que ahí lo tenemos: la supuesta "invariancia de calibre" sugiere el campo electromagnético, porque el campo de equilibrio se comporta de la misma manera que los potenciales magnéticos y eléctricos vectoriales transformados por calibre. Entonces, el razonamiento esencial aquí es realmente una corazonada: si parece un pato y grazna, tal vez sea un pato. Lo mismo ocurre con el acoplamiento del campo exterior en la ecuación de Dirac. Se comporta como los campos potenciales del electromagnetismo de Maxwell, así que "nosotros" (o más bien el físico que primero pensó en esto - mi ignorancia lamentablemente me impide decirte quién) vamos con nuestra corazonada y vemos qué sucede cuando asumimos que el campo es el electromagnético. campo.

Tenga en cuenta que las mismas ideas no se aplican a los bosones. Podemos pensar en las ecuaciones de Maxwell como las primeras ecuaciones cuantificadas para el fotón. Nadie habla de hacer invariantes las ecuaciones de Maxwell con respecto a la multiplicación por una función de fase arbitraria.$e^{i\,\alpha(x,y,z,t)}$de la misma manera que se hace para la ecuación de Dirac. Esto es a pesar de que las ecuaciones de Maxwell se pueden expresar en una forma cuaterniónica que es idéntica a una ecuación de Dirac de masa cero cuando esta última se considera como dos ecuaciones cuaterniónicas acopladas por un término de masa, por lo que el mismo truco matemático sería igual de válido. con las ecuaciones de Maxwell como lo haría con la ecuación de Dirac. Mi interpretación es esta: la fase del fotón es clásicamente un significado clásico: los fotones son bosones, por lo que en principio podemos obtener tantos como queramos en el mismo estado: tantos que podemos medir la fase de su "función de onda" común ( es ahora el campo electromagnético (consulte las advertencias en las notas posteriores a continuación) con precisión arbitraria con dispositivos de medición clásicos como los interferómetros. EXACTAMENTEa un campo electromagnético clásico macroscópico que podemos configurar y medir en detalle con precisión arbitraria en el laboratorio. Entonces, a pesar de que la fase de un fotón está "oculta" al igual que la fase de un electrón arriba, no hay estados propios de "fase" ni "fase" observable, aún debe ser "absoluta" en la "copia prolífica". "y-medir-clásicamente" en el sentido recién descrito.

Esto termina mi respuesta, pero agrego algunas cosas interesantes relacionadas a continuación.

Ecuaciones de Maxwell de$U(1)$Invariancia de indicador

Incidentalmente, uno puede usar este pensamiento de invariancia de calibre para motivar o "derivar" las ecuaciones de Maxwell. Dadas las suposiciones de diferenciabilidad adecuadas en el campo, la forma más sencilla de derivar campos que no se vean afectados exactamente por las transformaciones de calibre es formar el rotacional del tensor:

$F_{\mu\,\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$

(pruebe esto si no lo ha hecho antes: deja distinto de cero$F_{\mu\,\nu}$que no se ven afectados por la transformación de calibre). Ahora postulamos una ecuación de onda invariante de Lorentz para un campo sin masa:$\Box \mathbf{A} = \mathbf{0}$es la obvia (¡regresemos a D'Alembert!). Inmediatamente obtuvo las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre como ecuaciones cumplidas por lo "físico", no afectado por el calibre$F_{\mu,\nu}$.

Qué irónico que el principio de exclusión de Pauli, que se postuló por primera vez para "detener" la radiación de los electrones en el átomo de Bohr y, por lo tanto, se opuso al comportamiento aparentemente predicho por las ecuaciones de Maxwell, se puede usar para motivar una transformación de calibre que prácticamente se deriva de la ecuación de Dirac. ¡Volvamos a las ecuaciones de Maxwell!

Se puede obtener una formulación intrigante y despejada de QED "primera cuantificación" o "bebé" (que atrae especialmente a los teóricos de campos no cuánticos como yo) postulando la ecuación de Dirac-Maxwell:

$\gamma^\mu\left(i \partial_\mu - q A_\mu\right) \psi + V \psi - \psi = 0$

$\partial_\nu F^{\nu\,\mu} = q\,\bar{\psi} \gamma^\mu \psi$

con el calibre Lorenz$\partial_\mu A^\mu = 0$

es decir, intuitivamente, la fuente de las ecuaciones de Maxwell es$q$veces la densidad de corriente de probabilidad (aquí$\bar{\psi}$significa carga conjugada$\psi$). Un primer campo de electrones cuantificado ahora está acoplado no linealmente a un primer campo de fotones cuantificado. Este sistema no lineal se puede resolver exactamente para el potencial del átomo de hidrógeno$V$y en otras situaciones

AO Barut y J. Kraus, "Electrodinámica cuántica no perturbativa: el cambio de cordero", Fundamentos de la física, vol. 13, núm. 2, 1983

y esta solución de hecho puede modelar el cambio de Lamb y la emisión espontánea. La solución en serie se parece mucho a los términos de perturbación QED estándar y, de hecho, también se debe intervenir y "renormalizar" esta solución.

Véanse también las obras de Hilary Booth a finales de la década de 1990.

Ecuaciones de Maxwell como ecuaciones de propagación Función de onda de fotones

Por varias razones, una primera "función de onda de fotones" cuantificada tiene algunos comportamientos e interpretaciones diferentes del campo de fermiones.$\psi$en la ecuación de Dirac. Es perfectamente válido tratar las soluciones de las ecuaciones de Maxwell como estados cuánticos de un fotón, pero hay que entender que existen dificultades en el manejo de estados propios de posición localizada para el fotón exactamente análogos a los de los fermiones. Vea los trabajos de Iwo Bialynicki-Birula, Margaret Hawton a fines de la década de 1990 y principios de la de 2000, por ejemplo:

Iwo Bialynicki-Birula, "Sobre la función de onda del fotón" Acta Physica Polonica 86, 97-116 (1994)

Margaret Hawton y William E. Baylis, "Momento angular y el indicador geométrico de los estados de fotones localizados", Phys. Rev. A 71, 033816 (2005)