¿Podemos usar el término "invariancia de calibre U (1)" para el campo electromagnético libre?

OP tiene un punto. El campo$A^\mu$es una conexión, y por lo tanto vive en el álgebra del grupo gauge, no en el grupo mismo. En este caso,$\mathfrak u(1)=\mathbb R$. A primera vista, esto es todo lo que podemos concluir de$A\to A+\mathrm d\Lambda$. El grupo$\mathrm U(1)$es, al parecer, no está aquí todavía.

La afirmación correcta es que la teoría descrita por$A^\mu$tiene un$\mathfrak{u}(1)$simetría de calibre. Por exponenciación, podemos obtener$\mathrm U(1)$o su funda universal,$\mathbb R$. Cuál de estos grupos es el grupo de calibre "correcto" depende de las propiedades globales de$A$, que no están fijados por el álgebra. En cambio, estos son fijados por el sistema bajo consideración: algunos$\mathfrak u(1)$las teorías se exponen a$\mathrm U(1)$y algunos otros para$\mathbb R$. Y cuál de estos es el grupo correcto solo se puede discernir a partir de la física del problema en consideración.

En el caso de YM+materia, la opción correcta es$\mathrm U(1)$(porque exigimos$\psi$ser de un solo valor). En algunos otros sistemas (como la teoría del efecto Hall fraccionario), el álgebra$\mathfrak u(1)$en realidad se exponen a$\mathbb R$. En términos generales, no hay una sola opción: ambas son en principio válidas. En este sentido, es mejor decir que el electromagnetismo libre es la teoría de un$\mathfrak u(1)$simetría de calibre (que no necesariamente corresponde a$\mathrm U(1)$, pero puede corresponder a$\mathbb R$en cambio).

Puedes ver el$U(1)$transformación para el campo electromagnético libre en los bucles de Wilson (holonomías): Con$A'_\mu = A_\mu+\partial_\mu\Lambda(x)$

Las holonomías de un paquete principal, en general, reflejan el grupo de estructura del paquete. Cuando el camino está cerrado, la fórmula anterior muestra cero holonomía.

Sin embargo, cuando un flujo magnético fluye dentro de la espira, entonces$d\Lambda$no será exacto pero cerrado habrá una fase neta después de una rotación completa. Cuando la variedad espacio-temporal tiene topología no trivial (grupo fundamental no nulo). Estos factores de holonomía se pueden medir y pertenecen al grupo$U(1)$.

Si podemos; la teoría todavía disfruta de invariancia local.

En EM covariante tienes el tensor de intensidad de campo$F^{\mu\nu}$definido en términos del potencial$A^\mu$como

Esto implica la invariancia del lagrangiano$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$.

Apéndice:

Vimos que la invariancia está codificada en una función "sin índices internos" (y sin índices de espacio-tiempo también, pero esto no es importante). Si hacemos la transformación$\Lambda(x)$una transformación rígida,$\Lambda$es solo una constante (real). Entonces, las transformaciones rígidas están parametrizadas por números reales, y$\mathbb{R}$es el álgebra de mentira del grupo$U(1)$.

Podemos ver la conexión con$U(1)$de una manera diferente. Por razones, uno quiere que el grupo de simetría de calibre sea compacto, por lo que el grupo de simetría debe ser (isomorfo a)$\mathbb{R}/Z$dónde$Z$es un subgrupo discreto de$\mathbb{R}$; todos estos cocientes son isomorfos a$U(1)$.

Entonces, uno puede estudiar cómo los campos de materia pueden transformarse bajo la transformación de calibre al estudiar las representaciones de$U(1)$; resulta que efectivamente son todos de la forma$\exp(i n \Lambda)$con entero$n$y real$\Lambda \in \text{Lie } U(1) \simeq \mathbb{R}$.

Tenemos la misma noción de invariancia de calibre en ambas teorías, es decir, EM y QED. En ambos, la transformación de calibre viene dada por una función real ($\theta (x)$en QED y$\Lambda (x)$en ME). En QED, hablamos de simetría U(1) porque esta función real aparece como una fase arbitraria para la función de onda$\psi (x)$y entonces la geometría del grupo de simetría es$S^1$. Sin embargo, en EM la geometría de la simetría de calibre es una línea real. En principio, topológicamente no hay diferencia entre$S^1$y$R^1$.