Conexión entre mapas homotópicos de X→YX→YX\to Y y caminos homotópicos en YYY en el contexto de SU(2) instantones Yang-Mills

Question

Conexión entre mapas homotópicos de X→YX→YX\to Y y caminos homotópicos en YYY en el contexto de SU(2) instantones Yang-Mills

Física
topología
instantes
teoría de campo
teoría de calibre
geometría-algebraica

SRS

EDITAR: estaba leyendo un poco de teoría de la homotopía al tratar de comprender la diferencia entre los mapas homotópicos de $X\to Y$ y caminos homotópicos en $Y$ , y su significado en el contexto de los instantones SU(2) Yang-Mills.

un _ Para los instantones SU(2) Yang-Mills, tenemos mapas de $X\to Y$ es decir, $\mathbb{S}^3\to \mathbb{S}^3$ . Aquí, $X=\mathbb{S}^3$ corresponde al límite del espacio euclidiano de cuatro dimensiones, y $Y=\mathbb{S}^3$ corresponde a la variedad del grupo SU(2). Dos mapas diferentes $f^{(m)}(x)$ y $f^{(n)}(x)$ de $\mathbb{S}^3\to \mathbb{S}^3$ , con número de bobinado $m$ y $n$ respectivamente, no son homotópicas para $m\neq n$ . Técnicamente, esto significa que no se puede encontrar una homotopía $H(x,t)$ de $X\times [0,1]\to Y$ que puede deformar continuamente el mapa $f^{(n)}(x)$ a $f^{(m)}(x)$ en el sentido

H (X, 0) = F^{(metro)} (X) y H (X, 1) = F^{(norte)} (X) .

$H(x,0)=f^{(m)}(x)\hspace{0.2cm} \text{and}\hspace{0.2cm} H(x,1)=f^{(n)}(x).$ Aquí, estamos hablando de mapas de

X \to Y

$X\to Y$ . Resulta que los mapas de

S^{3} \to S^{3}

$\mathbb{S}^3\to \mathbb{S}^3$ se puede clasificar como

π_{3} [S^{3}] = Z .

$\pi_3[\mathbb{S}^3]=\mathbb{Z}.$

B. _ Según entiendo los caminos en $Y$ , no son lo mismo que $f(x), g(x)$ definido anteriormente. porque un camino $a(s)$ se define en términos de un parámetro $s\in[0,1]$ y se define sin ninguna referencia a lo que es X. Es posible ver si el espacio Y tiene más de una clase de caminos sin referencia a $X$ , y las rutas no son mapas de $X\to Y$ Pero de donde $[0,1]\to Y$ .

Dijo que los mapas no homotópicos de $\mathbb{S}^n\to Y$ son posibles solo si $\pi_n[Y]$ (dónde $Y$ es cualquier variedad) no es trivial (y en nuestro caso lo es). ¿Es un teorema? Aparentemente no veo ninguna conexión entre A y . No me queda claro por qué los mapas no homotópicos de $X\to Y$ no será posible si $\pi_n[Y]$ es trivial

No tengo mucha comprensión de la teoría de la topología o la homotopía, y no estoy seguro de si la pregunta tiene sentido. Si no, intentaré aclararlo más. Si es posible, una respuesta no demasiado técnica me será útil.

Coco

¿Por qué dices que el número de clases de caminos no equivalentes en

Y

$Y$ da el número de mapas no homotópicos

X \to Y

$X\to Y$ ? Además, fíjate que

π_{n} (Y)

$\pi_n(Y)$ es, por definición, el espacio de mapas

S^{n} \to Y

$S^n\to Y$ hasta la homotopía.

SRS

lo he corregido Al definir cualquier camino en Y, es irrelevante lo que es X. ¿Bien? Pero para clasificar los caminos en clases de homotopía no equivalentes, es necesario saber qué es X. ¿Está bien? Pero esto no me queda claro. Entiendo

π_{1} [Y]

$\pi_1[Y]$ como conjunto de todos los caminos cerrados en Y, que se pueden deformar continuamente hasta un punto. ¿Cómo se relaciona esto con un mapa de

S^{1} \to Y

$S^1\to Y$ ? Tengo la impresión de que los mapas son diferentes a los caminos.

Coco

Los caminos cerrados en el

π_{1} (Y)

$\pi_1(Y)$ ¡No es necesario que sea contractible! Sobre la segunda pregunta: un camino cerrado es un mapa de un intervalo a

Y

$Y$ por lo que la imagen de los extremos coinciden. Debido a esto, puede identificar los puntos finales del intervalo, obteniendo el círculo

S^{1}

$S^1$

SRS

¿Qué significan los mapas de

S^{n} \to Y

$S^n\to Y$ tiene que ver con los caminos en

Y

$Y$ ?

Diracología

El tercer grupo de homotopía no clasifica clases de bucles. Clasifica clases de esferas.

S^{3}

$S^3$ . Según tengo entendido, comprueba si las diferentes hipersuperficies se pueden deformar entre sí.

Coco

@SRS Nada (excepto por

n = 1

$n=1$ , para lo cual los mapas

S^{1} \to Y

$S^1\to Y$ son los caminos cerrados en

Y

$Y$ )

SRS

@coconut Tomemos un ejemplo:

S^{3} \to S^{3}

$S^3\to S^3$ . Los mapas

f (x), g (x), h (x), . . .

$f(x),g(x),h(x),...$ etc. no son homotópicos si tienen números de devanado desiguales. Este debería ser el final de la historia para comprender los instantenes. Si podemos construir dos mapas

f (x)

$f(x)$ ángulo

g (x)

$g(x)$ con diferentes números de devanado, se asegura que

f (x)

$f(x)$ no es deformable a

g (x)

$g(x)$ y las soluciones instanton existirán y he terminado. ¿Por qué preocuparse por lo que

π_{3} (S^{3})

$\pi_3(S^3)$ ¿es?

Coco

@SRS Si le importa el espacio de los mapas desde las tres esferas hasta su espacio y sus propiedades de homotopía, entonces le importa el tercer grupo de homotopía, ¡porque son lo mismo! Por supuesto, si solo se trata de un par de mapas, no necesita el espacio completo, pero la información que le brinda la teoría de la homotopía puede ser útil (por ejemplo, el caso en el que se sabe que el grupo de homotopía es trivial, no necesitas más cálculos para saber que todos los mapas de la n-ésima esfera son triviales)

una mente curiosa

No me queda claro cuál se supone que es la pregunta. Por definición,

π_{n} (Y)

$\pi_n(Y)$ es el grupo de clases de homotopía de mapas

S^{n} \to Y

$S^n\to Y$ . Entonces, el "teorema" sobre el que preguntas es una definición. Tampoco está del todo claro por qué estás hablando de "caminos en

Y

$Y$ ", ya que no estás considerando mapas

[0, 1] \to Y

$[0,1]\to Y$ o

S^{1} \to Y

$S^1\to Y$ (que son bucles).

SRS

@ACuriousMind Este es exactamente el punto que me confunde. Estoy hablando de caminos en Y porque a menudo uno interpreta

π_{1} [S^{1}] = Z

$\pi_1[S^1]=\mathbb{Z}$ como sigue: diferentes clases de caminos cerrados en

S^{1}

$S^1$ están etiquetados por diferentes números enteros y uno no puede deformarse suavemente entre sí. Si la interpretación es por caminos, ¿cómo podemos decir que estamos clasificando mapas?

una mente curiosa

π_{1}

$\pi_1$ tiene algo que ver con los caminos porque los mapas de

S^{1}

$S^1$ a un espacio son los mismos que los bucles/caminos cerrados en ese espacio. Los grupos de mayor homotopía

π_{n}, n \geq 2

$\pi_n,n\geq 2$ no tienen nada que ver con los caminos, y no entiendo por qué crees que lo harían.

Óptimo primer

@SRS: ¿Las funciones f (x) y g (x) mencionadas en la Parte B de su pregunta son errores tipográficos para

f^{m} (x)

$f^m(x)$ &

f^{n} (x)

$f^n(x)$ , o se refieren por completo a dos familias diferentes de mapas?

Respuestas (1)

Conexión entre mapas homotópicos de X→YX→YX\to Y y caminos homotópicos en YYY en el contexto de SU(2) instantones Yang-Mills

¿Por qué dices que el número de clases de caminos no equivalentes en $Y$ da el número de mapas no homotópicos $X\to Y$ ? Además, fíjate que $\pi_n(Y)$ es, por definición, el espacio de mapas $S^n\to Y$ hasta la homotopía.
lo he corregido Al definir cualquier camino en Y, es irrelevante lo que es X. ¿Bien? Pero para clasificar los caminos en clases de homotopía no equivalentes, es necesario saber qué es X. ¿Está bien? Pero esto no me queda claro. Entiendo $\pi_1[Y]$ como conjunto de todos los caminos cerrados en Y, que se pueden deformar continuamente hasta un punto. ¿Cómo se relaciona esto con un mapa de $S^1\to Y$ ? Tengo la impresión de que los mapas son diferentes a los caminos.
Los caminos cerrados en el $\pi_1(Y)$ ¡No es necesario que sea contractible! Sobre la segunda pregunta: un camino cerrado es un mapa de un intervalo a $Y$ por lo que la imagen de los extremos coinciden. Debido a esto, puede identificar los puntos finales del intervalo, obteniendo el círculo $S^1$
¿Qué significan los mapas de $S^n\to Y$ tiene que ver con los caminos en $Y$ ?
El tercer grupo de homotopía no clasifica clases de bucles. Clasifica clases de esferas. $S^3$ . Según tengo entendido, comprueba si las diferentes hipersuperficies se pueden deformar entre sí.
@SRS Nada (excepto por $n=1$ , para lo cual los mapas $S^1\to Y$ son los caminos cerrados en $Y$ )
@coconut Tomemos un ejemplo: $S^3\to S^3$ . Los mapas $f(x),g(x),h(x),...$ etc. no son homotópicos si tienen números de devanado desiguales. Este debería ser el final de la historia para comprender los instantenes. Si podemos construir dos mapas $f(x)$ ángulo $g(x)$ con diferentes números de devanado, se asegura que $f(x)$ no es deformable a $g(x)$ y las soluciones instanton existirán y he terminado. ¿Por qué preocuparse por lo que $\pi_3(S^3)$ ¿es?
@SRS Si le importa el espacio de los mapas desde las tres esferas hasta su espacio y sus propiedades de homotopía, entonces le importa el tercer grupo de homotopía, ¡porque son lo mismo! Por supuesto, si solo se trata de un par de mapas, no necesita el espacio completo, pero la información que le brinda la teoría de la homotopía puede ser útil (por ejemplo, el caso en el que se sabe que el grupo de homotopía es trivial, no necesitas más cálculos para saber que todos los mapas de la n-ésima esfera son triviales)
No me queda claro cuál se supone que es la pregunta. Por definición, $\pi_n(Y)$ es el grupo de clases de homotopía de mapas $S^n\to Y$ . Entonces, el "teorema" sobre el que preguntas es una definición. Tampoco está del todo claro por qué estás hablando de "caminos en $Y$ ", ya que no estás considerando mapas $[0,1]\to Y$ o $S^1\to Y$ (que son bucles).
@ACuriousMind Este es exactamente el punto que me confunde. Estoy hablando de caminos en Y porque a menudo uno interpreta $\pi_1[S^1]=\mathbb{Z}$ como sigue: diferentes clases de caminos cerrados en $S^1$ están etiquetados por diferentes números enteros y uno no puede deformarse suavemente entre sí. Si la interpretación es por caminos, ¿cómo podemos decir que estamos clasificando mapas?
$\pi_1$ tiene algo que ver con los caminos porque los mapas de $S^1$ a un espacio son los mismos que los bucles/caminos cerrados en ese espacio. Los grupos de mayor homotopía $\pi_n,n\geq 2$ no tienen nada que ver con los caminos, y no entiendo por qué crees que lo harían.
@SRS: ¿Las funciones f (x) y g (x) mencionadas en la Parte B de su pregunta son errores tipográficos para $f^m(x)$ & $f^n(x)$ , o se refieren por completo a dos familias diferentes de mapas?

Coco · Answer 1

Una definición podría aclarar la confusión. El $n$ -ésimo grupo de homotopía $\pi_n(Y)$ de un espacio $Y$ se construye usando el conjunto de mapas $S^n\to Y$ . Si identificamos dos mapas cuando son homotópicos y agregamos alguna estructura de grupo (que no necesitamos para esta respuesta), obtenemos $\pi_n(Y)$ . Entonces es claro que, siempre que $\pi_n(Y)$ es trivial (tiene un elemento) cualquiera de los dos mapas $S^n\to Y$ será homotópico.

La conexión con el espacio de caminos solo se puede hacer para el caso $n=1$ , en el cual $\pi_1(Y)$ (el conjunto de mapas desde el círculo hasta $Y$ hasta la homotopía, que se conoce como el grupo fundamental) es el espacio de caminos cerrados en $Y$ .

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Coco

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Coco

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