¿Cuántos grados físicos de libertad tiene la teoría SU(N)SU(N)\mathrm{SU(N)} de Yang-Mills?

$SU(N)$tiene$N^2 -1$gluones, uno correspondiente a cada generador (esto se llama la representación adjunta). Ese "número cuántico" (que podría llamarse un índice para el representante adjunto) podría tensorizarse junto con la representación de Lorentz para una partícula vectorial sin masa, que debería tener 2 polarizaciones (al igual que QED). Entonces la teoría tendrá$2(N^2 -1)$ grados de libertad físicos .

No entiendo por qué dice que los bosones de calibre deberían ser masivos; si lo fueran, entonces la simetría de calibre estaría "rota".

Como soy nuevo aquí y no puedo comentar arriba, solo escribo mi comentario como una pequeña respuesta. Creo que en tu pregunta hay un pequeño error. Usted pregunta cuántos grados de libertad hay en una teoría de Yang-Mills, aunque quiere preguntar cuántas polarizaciones tiene el gluón. En primer lugar, el número de generadores del grupo de calibre será el número de bosones de calibre que obtendrá.$SU(N)$los grupos tienen de hecho$N^2-1$generadores, excepto$U(1)$que tiene uno En QED esto corresponde al fotón, en$SU(2)$a tres bosones de calibre (no exactamente los W y los Z ya que estos se producen mezclando$SU(2)_L$con$U(1)_y$), y en$SU(3)$hay 8 gluones como ya te dijo Siva.

Ahora a su pregunta, ¿cuántas polarizaciones tienen estos bosones de norma? Comencemos con un bosón vectorial masivo. Podemos definir sus estados de helicidad en el marco de reposo y luego, por supuesto, aumentar al marco en el que se mueve la partícula. Bajo este impulso, la polarización longitudinal tiene un término$E/m$(dónde$E$la energía y$m$la masa de la partícula) que tiende a infinito cuando la masa de la partícula tiende a cero. Esto traería problemas en cuanto a la unitaridad de la teoría ya que las contribuciones en los elementos de la matriz serían enormes. Lo que se puede hacer es arreglar las interacciones de la teoría de manera que las contribuciones de las polarizaciones longitudinales sean suprimidas por un factor del orden$m/E$. En el caso ahora el bosón vectorial es estrictamente sin masa, las contribuciones longitudinales se desacoplan por completo. Por lo tanto, los bosones vectoriales sin masa tienen dos estados físicos de máxima helicidad mientras que uno masivo tiene tres. Los gluones no tienen masa, al igual que los fotones, mientras que los W y Z son masivos.

Espero haber ayudado. Estoy bastante seguro de que puede encontrar más detalles incluso en wikipedia si lo desea.