¿Cómo puedo encontrar las ecuaciones de movimiento del oscilador armónico de 2 dim?

En primer lugar: no soy físico, así que estoy bastante indefenso.

Necesito encontrar las ecuaciones móviles de los 2-dim. oscilador armónico . Si es posible que sea más bien elemental, porque, como dije, yo no soy físico. Escuché que UNA posibilidad es la mecánica de Hamilton, pero para ser honesto, ¡apenas sé cuál es!

¿Quizás puedas ayudarme? Le estaría muy agradecido.

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Para el péndulo esférico general obtengo

θ ¨ = pecado ⁡ θ porque ⁡ θ φ ˙ 2 + gramo yo pecado ⁡ θ ,     φ ¨ = − 2 porque ⁡ θ θ ˙ φ ˙ pecado ⁡ θ .

¿No es el 2-dim. oscilador armónico un péndulo esférico especial para que tal vez pueda usar estos resultados?

¿Puedes darnos alguna idea de tus antecedentes? ¿Eres matemático? Si estás pensando en resolver ecuaciones de movimiento, es probable que estés satisfecho con las ecuaciones diferenciales. ¿ Tiene algún sentido este artículo sobre el oscilador armónico 2D ?
@JohnRennie Estoy estudiando matemáticas, ahora trato con ODE. Siempre tengo problemas con el ejemplo de la física. Entonces, para ser honesto, no entiendo una palabra del enlace.
El oscilador armónico es donde la fuerza es proporcional al desplazamiento. Una implementación física del ho unidimensional es el péndulo de resorte. El péndulo normal no es un oscilador armónico (pero se puede aproximar a uno si la amplitud es lo suficientemente baja). Resolver un péndulo esférico es mucho más difícil que resolver un oscilador armónico, por lo que normalmente no sustituiría un péndulo esférico por un oscilador armónico (más bien al revés).
Ok, ahora tengo las ecuaciones de movimiento para un péndulo esférico. Pero no sé cómo encontrar las ecuaciones de movimiento para un oscilador armónico...
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Respuestas (1)

El truco con el oscilador armónico bidimensional es reconocer que hay dos direcciones para que el movimiento en una dirección sea independiente del movimiento en la otra (si el oscilador armónico es rotacionalmente simétrico, dos direcciones ortogonales serán suficientes). Si trazas las líneas equipotenciales del potencial del oscilador (es decir, la energía potencial si la masa está en ese punto), se trata de elipses; los ejes principales de esas elipses dan esas dos direcciones.

En cada una de las direcciones, la ecuación de movimiento es simplemente la ecuación de movimiento de un oscilador armónico unidimensional. Entonces resuelves los dos osciladores armónicos unidimensionales por separado.

Si no desea utilizar este atajo, también puede calcularlo directamente utilizando cualquiera de los métodos habituales, como el formalismo de Lagrange o el formalismo de Hamilton.

Así es como lo harías en el formalismo de Lagrange:

Paso 1: determine la energía cinética y potencial del oscilador armónico 2D.

  • Energía cinética: T = 1 2 metro ( X ˙ 2 + y ˙ 2 )

    Aquí X y y son las coordenadas, y el punto describe la derivada del tiempo, es decir, X ˙ y y ˙ son las componentes de la velocidad.

  • Energía potencial: V = a X 2 + b X y + C y 2

Aquí a , b y C son constantes generales (con la restricción de que a > 0 , C > 0 y 2 a C − b 2 > 0 ). Este es el potencial de oscilador armónico bidimensional más general con la restricción de que el mínimo está en X = y = 0 (y el valor que hay 0 , pero un término constante en el potencial no cambia las ecuaciones de movimiento).

Paso 2: A partir de la energía cinética y potencial, calcula la función de Lagrange. Ese paso es trivial: la función de Lagrange siempre es L = T − V , es decir en este caso,

L = 1 2 metro ( X ˙ 2 + y ˙ 2 ) − a X 2 − b X y − C y 2

Paso 3: Para derivar la ecuación de movimiento, simplemente reemplaza esta ecuación de Lagrange en las ecuaciones de Euler-Lagrange (del segundo tipo): Para cada coordenada q (que es aquí, X y y ), la ecuación de movimiento dice

d d t ∂ L ∂ q ˙ = ∂ L ∂ q
Entonces para X , obtenemos ∂ L / ∂ X ˙ = metro X ˙ y ∂ L / ∂ X = 2 a X + b y , y por lo tanto
metro X ¨ = − ( 2 a X + b y )
y análogamente
metro y ¨ = − ( b X + 2 C y )

Esas son las ecuaciones de movimiento.

¿Estás usando un péndulo de resorte ahora? Antes de hacer esto (¡gracias!) Quedan dos preguntas: ¿Cómo puedo expresar las coordenadas X y y ? ¿Por qué la energía potencial es a X 2 + b X y + C y 2 ?
Es un 2-dim. oscilador armónico un péndulo de resorte que puede moverse hacia arriba y hacia abajo y, además, como un péndulo esférico?
X y y son solo dos direcciones en las que se puede desplazar el oscilador. Ni siquiera necesitan ser ortogonales. la energía potencial a X 2 + b X y + C y 2 es simplemente la forma cuadrática más general posible sin término lineal o constante. Tiene esa forma porque eso es lo que hace que el sistema sea un oscilador armónico (podría conectar otro potencial aquí, pero entonces ya no tendría un oscilador armónico; bueno, a menos que sus coordenadas sean algo más que desplazamientos, entonces puede ser un oscilador armónico en diferentes coordenadas).
@math12: No. Una implementación específica (no la más general) sería una masa que puede moverse en un plano (horizontalmente, sin gravitación y sin fricción) que está conectada a través de una fibra (sin fricción, sin masa, arbitrariamente flexible) a través de un pequeño agujero en ese plano a un resorte que está en su posición de reposo cuando la masa está exactamente encima del agujero.
Te esfuerzas mucho por explicármelo, gracias. Pero para ser honesto, no entiendo: cuando se dice "oscilador armónico de 2 dim", ¿qué significa? Estoy un poco confundido en este momento.
Encontré lo siguiente: "Considere el oscilador armónico de 2 dim H = 1 2 ( pag X 2 + pag y 2 ) + 1 2 ( w X 2 X 2 + w y 2 y 2 ) ." ¿Qué es eso?
@math12: "Oscilador armónico bidimensional" significa, por definición, "sistema bidimensional con potencial cuadrático atractivo". "Potencial cuadrático" significa "potencial que es un polinomio de grado 2 en la posición", y "atractivo" significa "cuando te alejas de la posición de equilibrio, el potencial aumenta".
Es el hamiltoniano de un oscilador armónico; el hamiltoniano se usa en el formalismo de Hamilton (otra forma de derivar las ecuaciones de movimiento). Básicamente, H = T + V , excepto eso T se describe con el impulso. De lo contrario, ese es un caso especial del potencial que he dado (con a = 1 2 w X 2 , b = 0 , C = 1 2 w y 2 ), logrado utilizando los ejes principales del potencial como coordenadas. Por cierto, acabo de notar que tengo un error de signo en las ecuaciones de movimientos; Lo corregiré en un momento.
De acuerdo, creo que es mucho mejor usar su formulación general. :-) Así que ahora tengo las ecuaciones y puedo hacer un sistema a partir de ellas, obteniendo: X ˙ = ω 1 , y ˙ = ω 2 , ω ˙ 1 = − 1 metro ( 2 a X + b y ) , ω ˙ 2 = − 1 metro ( b X + 2 C y ) . ¿Esta divergencia es libre?
@math12 No quiero ser grosero, pero en este momento parece que solo está pidiendo soluciones para su tarea, que no es algo que alentamos en este sitio. Tal vez deberías hablar con tu maestro sobre esto si te cuesta tanto entender este ejemplo (bastante elemental).
@Danu Entiendo lo que quieres decir, pero esto no es tarea. Solo trato de entender esto, porque tengo que acostumbrarme un poco a ese tipo de ejemplos que aparecen de vez en cuando. Como puede ver, no tengo conocimientos de física, por lo que trato de acostumbrarme a la física, al menos un poco.
Creo que es de hecho libre de divergencia. F : R 4 → R 4 , ( X , y , ω 1 , ω 2 ) ↦ ( F 1 ( X , y , ω 1 , ω 2 ) F 2 ( X , y , ω 1 , ω 2 ) F 3 ( X , y , ω 1 , ω 2 ) F 4 ( X , y , ω 1 , ω 2 ) ) = ( ω 1 ω 2 − 1 metro ( 2 a X + b y ) − 1 metro ( b X + 2 C y ) ) y entonces división F = ∂ X F 1 + ∂ y F 2 + ∂ ω 1 F 3 + ∂ ω 2 F 4 = 0 .
¿Hay algún ejemplo de un oscilador de dos dimarmónicos en el que los parámetros X , y , ω 1 , ω 2 están delimitados? Quiero aplicar el teorema de recurrencia y, por lo tanto, el campo vectorial f que genera el flujo debe estar libre de divergencias (esto se cumple como mostré en mi último comentario) y el movimiento debe limitarse a un subconjunto acotado de R 4 . Así que todavía tengo que mostrar esto. Y creo que por lo tanto tengo que demostrar que X , y , ω 1 , ω 2 están acotados.
¿Cómo puedo encontrar las ecuaciones de movimiento del oscilador armónico de 2 dim?
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