¿Cuál es la trayectoria de una partícula bajo una fuerza angular constante siempre perpendicular a su vector de posición?

Question

¿Cuál es la trayectoria de una partícula bajo una fuerza angular constante siempre perpendicular a su vector de posición?

qfzklm

Es una cuestión de mecánica clásica, relacionada pero de hecho distinta del problema de la fuerza central.

La ecuación de movimiento se puede expresar de la siguiente manera en coordenadas polares:
$\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2} = 0 r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ} = \frac{F}{metro}$ $\ddot{r}-r\dot{\theta}^2=0 \\ r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}=\frac{F}{m}$ con condición inicial de velocidad cero (lo que sea, solo por simplificación): $r (0) = r_{0}, θ (0) = 0, \dot{r} (0) = 0, \dot{θ} (0) = 0.$ $r(0)=r_0,\ \theta(0)=0,\ \dot{r}(0)=0,\ \dot{\theta}(0)=0.$

Sin embargo, no tengo talento para resolver analíticamente esta ecuación. ¿Me puedes ayudar?

Por supuesto, la famosa primera integral en el problema de la fuerza central, el momento angular, no ayuda a resolverlo. Creo que la trayectoria tiene un nombre, quiero decir alguna curva significativa, pero no la encuentro.

También tengo curiosidad de que este problema se pueda asignar a cualquier sistema físico real. Podría ayudar a resolverlo.

Naptzer

Puedes resolverlo numéricamente si quieres tener una idea de cómo se ve la curva y no sabes cómo resolverla exactamente.

Tumba.

¿Quieres decir perpendicular a su vector de velocidad?

knzhou

@Farcher No. Esa pregunta es un ejercicio de rutina. Este es un sistema difícil de ecuaciones diferenciales. No tiene nada que ver con el movimiento circular uniforme.

qfzklm

@Naptzer Gracias por tu comentario. Por supuesto que sé cómo resolverlo numéricamente, y de hecho lo he hecho.

qfzklm

Del cálculo numérico, solo sé que el radio (r) aumenta muy rápido. En realidad, no ayuda en nada, y creo que una curva de escritura a mano es suficiente para conocer la forma de la trayectoria.

Respuestas (1)

¿Cuál es la trayectoria de una partícula bajo una fuerza angular constante siempre perpendicular a su vector de posición?

Puedes resolverlo numéricamente si quieres tener una idea de cómo se ve la curva y no sabes cómo resolverla exactamente.
@Farcher No. Esa pregunta es un ejercicio de rutina. Este es un sistema difícil de ecuaciones diferenciales. No tiene nada que ver con el movimiento circular uniforme.
@Naptzer Gracias por tu comentario. Por supuesto que sé cómo resolverlo numéricamente, y de hecho lo he hecho.
Del cálculo numérico, solo sé que el radio (r) aumenta muy rápido. En realidad, no ayuda en nada, y creo que una curva de escritura a mano es suficiente para conocer la forma de la trayectoria.

knzhou · Answer 1

Esto definitivamente corresponde a un sistema físico: considere una masa dentro de un tubo semi-infinito sin fricción con un extremo en el origen. Tu situación corresponde a girar el tubo de modo que la fuerza normal sobre la masa sea constante. A partir de esta configuración, es intuitivamente claro que esto tiende a alejar la masa del origen.

Me he encontrado con esta configuración antes, pero con un par constante, que probablemente sería el caso más realista. En ese caso es fácil de resolver porque el momento angular aumenta linealmente en el tiempo. Tu caso es más difícil. Después de eliminar $\theta$ Llegué a

3 \dot{r} \ddot{r} + r \overset{⃛}{r} = (r \ddot{r})^{1 / 2} \frac{F}{metro}

$3 \dot{r} \ddot{r} + r \dddot{r} = (r \ddot{r})^{1/2} \frac{F}{m}$ de donde podemos observar que una solución es

r (t) = \frac{F}{6 \sqrt{2} metro} t^{2}

$r(t) = \frac{F}{6 \sqrt{2} m} \, t^2$ lo que también implica que

θ (t) \propto \log t

$\theta(t) \propto \log t$ . Pero no sé cómo resolverlo para las condiciones iniciales generales.

No tengo tiempo para profundizar en esto, pero una técnica que tal vez quiera probar es la complejidad. Es decir, representar la posición de la partícula en el $xy$ avión como un número complejo $z$ . Entonces solo tienes una ecuación, $\ddot{z} \propto i z/|z|$ , que es bastante simple. ¡Ojalá alguien pueda terminar este análisis!

Entonces, ¿esto pregunta sobre la trayectoria de una partícula en una centrífuga?
@Farcher Sí, pero uno que ejerce una fuerza constante en lugar de un par constante, lo cual es un poco extraño.
¡Gracias por tu rápida respuesta! De alguna manera, cuando trato de resolverlo, trato de evitar aumentar el orden de esta ecuación diferencial, porque la condición inicial es solo de primer orden. ¿Crees que es necesario para conocer la condición inicial de segundo orden?
@qfzklm Solo estaba tratando de deshacerme de $\theta$ sin mantener el orden bajo. En cualquier caso, dadas tus condiciones iniciales, aún puedes encontrar mis condiciones iniciales, ya que la primera ecuación da $\ddot{r}$ directamente, y la combinación de los dos da $\dddot{r}$ .
No se preocupe por el caso realista, solo en la ecuación que un término constante a la derecha podría ser más simple, ¿no? Estoy de acuerdo en que el par constante es verdaderamente el caso más simple. Lamento no haberme dado cuenta de que el caso de fuerza constante es tan difícil.
Desafortunadamente, su solución parece no satisfacer la condición inicial. Intentaré encontrar la solución adecuada. De todos modos, gracias por compartir tiempo en él.

¿Cuál es la trayectoria de una partícula bajo una fuerza angular constante siempre perpendicular a su vector de posición?

qfzklm

Naptzer

Tumba.

knzhou

qfzklm

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granjero

knzhou

qfzklm

knzhou

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