Escritura de la ecuación para la amplitud del oscilador armónico impulsado en forma lorentziana

Question

Escritura de la ecuación para la amplitud del oscilador armónico impulsado en forma lorentziana

Mel

Este oscilador armónico es excitado y amortiguado, con la forma:

\ddot{X} + λ \dot{X} + ω_{0}^{2} X = A porque (ω_{d} t)

$\ddot{x} + \lambda \dot{x} + \omega_0^2 x = A \cos(\omega_d t)$

Ahora, he usado el ansatz (suposición): $x(t) = B \cos(\omega_d t + \phi)$ , y he escrito B en la forma:

B = \frac{A}{\sqrt{(ω_{o}^{2} - ω_{d}^{2})^{2} + λ ω_{d}^{2}}}

$B = \frac{A} {\sqrt{(\omega_o^2-\omega_d^2)^2+\lambda\omega_d^2}}$

A continuación, debo " aproximar B usando la forma lorentziana "

B = \frac{C}{(ω_{d} - Ω)^{2} + (\frac{Γ}{2})^{2}}

$B = \frac{C}{(\omega_d - \Omega)^2+\biggl(\frac{\Gamma}{2}\biggr)^2}$

Sin embargo, aquí es donde estoy atascado. Sé que debido a que dice "aproximado", de alguna manera tendré que descartar términos de mi primera expresión a B, pero no sé por dónde empezar. ¿Cómo puedo escribir B en esta forma?

EDITAR: He encontrado un artículo de wikipedia sobre resonancia que muestra una forma muy similar a lo que busco, sin embargo, parece que no puedo encontrar una derivación http://en.wikipedia.org/wiki/Resonance

Ana SH

Supongo que podrías empezar a expandir la raíz cuadrada en una serie de Taylor.

Vibert

... y qué término es más pequeño?

(ω_{0}^{2} - ω_{d}^{2})^{2}

$(\omega_0^2 - \omega_d^2)^2$ o

λ ω_{d}^{2}

$\lambda \omega_d^2$ ?

Mel

@Vibert No me dan ninguna información en la pregunta que me permita deducir cuál es más pequeño. De hecho, he proporcionado toda la información que me dieron arriba.

Miguel

Si tomas el límite

ω_{d} \to \infty

$\omega_d \rightarrow \infty$ tu encuentras

A = C

$A=C$ . Entonces

ω_{d} = 0

$\omega_d=0$ y

ω_{d} = ω_{0}

$\omega_d=\omega_0$ dar otras dos ecuaciones que deberían ser capaces de determinar

Ω

$\Omega$ y

Γ

$\Gamma$ . Sin embargo, no estoy seguro de que esto funcione correctamente. Probablemente, una mejor apuesta es que Taylor amplíe ambas formas en torno a los términos máximos de puntos y coincidencias.

usuario22564

¿Cómo adivinaste x(t)=Bcos(ωdt+ϕ)?

DanielSank

@MichaelBrown: Definitivamente quieres hacer esto expandiéndote alrededor del pico. El Lorentziano simplemente no coincide con la verdadera curva de resonancia lejos del pico.

Respuestas (1)

Escritura de la ecuación para la amplitud del oscilador armónico impulsado en forma lorentziana

Supongo que podrías empezar a expandir la raíz cuadrada en una serie de Taylor.
... y qué término es más pequeño? $(\omega_0^2 - \omega_d^2)^2$ o $\lambda \omega_d^2$ ?
@Vibert No me dan ninguna información en la pregunta que me permita deducir cuál es más pequeño. De hecho, he proporcionado toda la información que me dieron arriba.
Si tomas el límite $\omega_d \rightarrow \infty$ tu encuentras $A=C$ . Entonces $\omega_d=0$ y $\omega_d=\omega_0$ dar otras dos ecuaciones que deberían ser capaces de determinar $\Omega$ y $\Gamma$ . Sin embargo, no estoy seguro de que esto funcione correctamente. Probablemente, una mejor apuesta es que Taylor amplíe ambas formas en torno a los términos máximos de puntos y coincidencias.
@MichaelBrown: Definitivamente quieres hacer esto expandiéndote alrededor del pico. El Lorentziano simplemente no coincide con la verdadera curva de resonancia lejos del pico.

zonksoft · Answer 1

Dado que el máximo es el punto más importante de la curva, sugiero igualar las derivadas 0-2 de las dos curvas en $\omega_0$ . Esto es equivalente a hacer una expansión de Taylor/potencia en ambas funciones y hacer coincidir los tres primeros coeficientes. Dado que hay tres constantes, podemos hacer coincidir tres criterios (= ecuaciones).

Primera derivada: conjunto $\Omega=\omega_0$ , y al diferenciar ambas curvas puedes mostrar que la primera derivada de ambas curvas en $\omega_0$ es cero

Derivada cero: Igualando las dos curvas y resolviendo para $C$ , encuentras que $C=\frac{A (\frac{\Gamma}{2})^2}{\sqrt{\lambda}\omega_d}$ .

Segunda derivada: Aún no hemos establecido $\Gamma$ . La ecuación necesaria proviene de establecer la segunda derivada en $\omega_0$ igual. Esto da $\frac{\Gamma}{2}=\sqrt{\frac{\lambda}{2}}$ .

La trama (todos los parámetros en la curva de resonancia original son 2; el azul es original, el rojo es lorentziano) me parece bastante bueno:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Gracias. Sin embargo, una cosa, ¿cómo es que su curva azul no (parece) tener dos picos? Cuando tracé ambas curvas, la curva original tenía dos picos, en $\omega_d = \omega_0$ y $\omega_d = -\omega_0$
Tienes toda la razón, olvidé una raíz cuadrada. Rehice el cálculo, el $C$ no ha cambiado, pero el $\Gamma$ hizo.

Escritura de la ecuación para la amplitud del oscilador armónico impulsado en forma lorentziana

Mel

Ana SH

Vibert

Mel

Miguel

usuario22564

DanielSank

Respuestas (1)

zonksoft

Mel

zonksoft

¿Cuál es el período de tiempo de un oscilador con constante de resorte variable?

Longitud equivalente de un péndulo simple

Solución a largo plazo para un oscilador armónico impulsado

¿Cuál es el significado de sujetar el centro del resorte?

¿Por qué el ángulo de inclinación no afecta la altura a la que un objeto lanzado se deslizará por una rampa sin fricción?

¿Esta colisión es elástica o inelástica?

¿Por qué la tensión en la polea de una máquina Atwood no es igual a (m1+m2)g(m1+m2)g(m_1 + m_2)g?

Ecuación de Euler-Lagrange con potencial logarítmico

Efectos de la fricción en un sistema de bocks

¿Cómo calcular la acción clásica en el caparazón para un oscilador armónico? [cerrado]