Método de Birkhoff para la perturbación del oscilador armónico

Problema: Dado Hamiltoniano

$$H = \frac12 (p^{2}+q^{2})+q^{3}-3qp^{2}$$ hacer una transformación canónica perturbativa $(q,p) \rightarrow (Q,P)$tal que el nuevo hamiltoniano, aparte de los términos de grado mayor que 4 en $Q$y $P$, es de la forma $$\bar{H}(Q,P)= \frac12 (P^{2}+Q^{2})+c(P^{2}+Q^{2})^{2}$$ utilizando la versión de Birkhoff de la teoría de la perturbación canónica en la que primero se realiza una transformación canónica a coordenadas complejas $a$y $a^{\dagger}$, dónde $a= \frac{(q-ip)}{\sqrt{2}}, a^{\dagger}=\frac{(p-iq)}{\sqrt{2}}.$

Mi problema: en mi uso anterior del método de perturbación de Birkhoff (que veo más comúnmente conocido como forma normal de Birkhoff ), el objetivo es hacer que el hamiltoniano entre en una serie de potencias de la acción,$bb^{\dagger}$, dónde$(a,a^{\dagger})\rightarrow(b,b^{\dagger})$, y no veo cómo obtener la siguiente transformación para dar el hamiltoniano en la forma deseada.

Trabajo hasta ahora: después de sustituir$(q,p) \rightarrow (a,a^{\dagger})$, dónde$q=\frac{(a+ia^{\dagger})}{\sqrt{2}}, p=\frac{(ia+a^{\dagger})}{\sqrt{2}}$,

$$H(a,a^{\dagger})=iaa^{\dagger} + \sqrt{2}(a^{3}-ia^{\dagger 3})$$ Luego elegí una función generadora. $F(a,b^{\dagger}) = ab^{\dagger}+S(a,b^{\dagger})$, dónde $S(a,b^{\dagger})$es un polinomio cúbico. Entonces $$a^{\dagger} = \frac{\partial F}{\partial a} = b^{\dagger}+\frac{\partial S(b,b^{\dagger})}{\partial b} + \text{higher order terms}$$ $$b = \frac{\partial F}{\partial b^{\dagger}} = a+\frac{\partial S(b,b^{\dagger})}{\partial b^{\dagger}} + \text{higher order terms}$$ Entonces creo que estoy haciendo algo mal al hacer un seguimiento de los términos de orden superior aquí.

Realmente agradecería cualquier orientación para comprender este problema, gracias por su tiempo.