Oscilador armónico: si E=12qθ˙2+12sθ2E=12qθ˙2+12sθ2E=\frac{1}{2} q \dot{\theta}^2+\frac{1}{2} s \theta^2 entonces ω=sq−−√ω=sq\omega=\sqrt{\frac{s}{q}}?

Considere un oscilador armónico. Supongamos que consigo escribir la energía mecánica en función de una cantidad, como el ángulo θ De este modo

mi = 1 2 q θ ˙ 2 + 1 2 s θ 2

Con s y q constantes Entonces

ω = s q .

¿Es esto correcto? Si es así, no entiendo la razón de eso.

¿Puede alguien ayudarme a entender por qué se mantiene esto?

donde conseguiste la ecuacion ω = s / q ? ¿Puedes intentar seguir el razonamiento dado en esa fuente?
@DavidZ El razonamiento es lo que estoy buscando. Lo vi como un método utilizado en un ejercicio en un libro de texto para encontrar la frecuencia del oscilador simplemente conociendo la expresión de energía mecánica, pero no da una explicación de esto.

Respuestas (1)

El punto de la energía en cualquier sistema es que es constante en el tiempo. 1 , lo que significa mi ˙ = 0 . En este caso concreto,

mi = 1 2 q θ ˙ 2 + 1 2 s θ 2
que en la diferenciación de tiempo 2 se convierte
mi ˙ = q θ ˙ θ ¨ + s θ θ ˙

Si estableces esto igual a cero, obtienes

θ ¨ + s q θ = 0
que es solo la ecuación para el movimiento armónico , donde puedes leer 3 la frecuencia como ω 2 = s / q .

1 la energía es constante en casi cualquier situación, pero a veces (p. ej., cuando las fuerzas no son conservativas, como la fricción) mi podría cambiar con el tiempo. Supongo que esto te resultará familiar.

2 Tenga en cuenta que aquí uso la regla de la cadena : d d t F ( θ ) = F ′ ( θ ) θ ˙ .

3 la solución general de esta ecuación es θ ( t ) = a porque ⁡ ( s / q t + ϕ ) , dónde a , ϕ son constantes de integración. Puede verificar esto insertando esta expresión en la ecuación y verificar que funciona. A partir de esto, debe quedar claro que la frecuencia viene dada por la raíz cuadrada s / q , como queríamos probar.

OP: tenga en cuenta que esto se puede generalizar fácilmente a cualquier energía cuadrática: siempre que mi depende de una variable θ y su derivada temporal θ ˙ como suma de dos términos cuadráticos, obtienes un movimiento oscilatorio, donde la frecuencia viene dada por la raíz cuadrada de la relación de coeficientes.
Es curioso, nunca pensé que la mera diferenciación de la energía por el tiempo nos daría inmediatamente ecuaciones de movimiento (para un sistema conservativo).
@Ruslan sí, es un buen truco (pero solo funciona en 1D, porque en varias dimensiones necesitas más de una ecuación)
Oscilador armónico: si E=12qθ˙2+12sθ2E=12qθ˙2+12sθ2E=\frac{1}{2} q \dot{\theta}^2+\frac{1}{2} s \theta^2 entonces ω=sq−−√ω=sq\omega=\sqrt{\frac{s}{q}}?
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