Período en el plano de fase (pequeñas oscilaciones)

Tengo esta fórmula para calcular el período de un movimiento en el espacio de fase (plano, en este caso) a lo largo de una curva de fase.

$$\begin{equation} T(E)=\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{2(E-U(x))}} \end{equation}$$ dónde $E$es la energía total del sistema, $U(x)$es la energía potencial y $x_1$y $x_2$son los puntos de mi curva de fase que interceptan el $x$-eje del plan de fases (puntos de inversión). Ahora, me piden que calcule el período de las pequeñas oscilaciones en una vecindad del punto $x_0$, que es el punto de mínimo de energía potencial. Entonces, básicamente, tengo que encontrar: $$\begin{equation} T_0=\lim_{E\to E_0}{T(E)} \end{equation}$$ dónde $E_0=U(x_0)$.

Mi intento: he usado a Taylor para evaluar U(x) en una vecindad de$x_0$. Entonces, considerando que E tiende a$U(x_0)$Obtuve:

$$\begin{equation} T(E)=\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{2(U(x_0)-U(x_0)-U'(x_0)(x-x_0)-\frac{U''(x_0)(x-x_0)^2}{2} }} \end{equation}$$ y desde $U'(x_0)=0$(porque $x_0$es un minimo para $U(x)$) $$\begin{equation} T(E)=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{dx}{\sqrt{-U''(x_{0})(x-x_{0})^2} } \end{equation}$$ Así que en este punto estoy desconcertado porque $U''(x_{0})$es positivo seguro, y eso me deja con un número negativo debajo de una raíz cuadrada. Estoy seguro de que en algún lugar he aplicado algún teorema donde no debería haberlo hecho. Siento que es un problema matemático.

Mi libro (Arnold) dice que la solución es$2\pi$/$\sqrt{U''(x_{0})}$pero me quedé totalmente atrapado aquí. ¿Me puedes ayudar? ¿Dónde está mi error?

PD Perdón por mi falta de formalismo, como omitir la notación pequeña, etc. pero creo que entendiste mi punto de todos modos :)