Probabilidad de encontrar el oscilador en alguna posición en [x,x+dx][x,x+dx][x,x + \mathrm dx]

Question

Probabilidad de encontrar el oscilador en alguna posición en [x,x+dx][x,x+dx][x,x + \mathrm dx]

usuario78217

Dado que la posición de un oscilador armónico unidimensional está dada por

$X (t) = A C o s (ω t + ϕ)$ $x(t) = Acos(\omega t + \phi)$

dónde $A,\phi,\omega \geq 0$ son constantes de números reales que estoy tratando en algún sentido

encuentra el $p(x)\mathrm dx$ probabilidad de encontrar el oscilador entre la posición $x$ y $x+\mathrm d x$ .

Hay una pista de que esto es lo mismo que calcular $\mathrm dT/T$ dónde $T$ es el período de oscilación y $\mathrm dT$ es un intervalo de tiempo dentro del período.

Mi intento: Entonces, estoy tratando de calcular usando $\mathrm dT/T$ pero no se como hacerlo. si tenemos eso $x(t+T) = x(t)$ entonces usamos $\mathrm dx / \mathrm dT = (\mathrm d x/\mathrm dt)(\mathrm dt/\mathrm dT )$ pero esto no va mucho más allá. También traté de ver otras derivadas como un truco para considerar las constantes como variables, pero para todas las constantes me quedé atascado en cálculos que no iban a ninguna parte; por ejemplo para $\omega$ Acabo de encontrar $\mathrm d T/ T = -\mathrm d \omega/\omega$ . No dé una respuesta completa, dé solo una pista para que pueda concluir la pregunta.

Concepto físico involucrado: Este es un problema a medias de mecánica estadística; el oscilador armónico es uno de los pocos ejemplos de problemas en los que es posible comprobar la validez de dos elementos importantes de la teoría: la hipótesis ergódica y el postulado igual a priori.

ZeroTheHero

tal vez empezar con

d x = - A ω \sin (ω t + ϕ) d t

$dx=-A\omega \sin(\omega t+\phi)dt$ ?

usuario78217

Y use

d t = d T

$dt = dT$ ¿o algo? Esto fue lo primero que probé y no pude obtener nada de

Respuestas (1)

Probabilidad de encontrar el oscilador en alguna posición en [x,x+dx][x,x+dx][x,x + \mathrm dx]

Y use $dt = dT$ ¿o algo? Esto fue lo primero que probé y no pude obtener nada de

Ángulo de Eric · Answer 1

Comience con la conservación de energía

\frac{1}{2} metro {(\frac{d X}{d t})}^{2} + \frac{1}{2} k X^{2} = mi

$\frac{1}{2} m \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \frac{1}{2} k x^2 = E$ Tenga en cuenta que la amplitud

A

$A$ se puede encontrar desde la configuración

d x / d t = 0

$dx/dt = 0$ en lo anterior y resolviendo

x

$x$ .

Ahora resuelve lo anterior para $dt$ y considere el movimiento de $x=-A$ a $x=+A$ .

Debe encontrar que la densidad de probabilidad es

pag (X) d X = \frac{d t}{T / 2} = \frac{1}{π A} \frac{d X}{\sqrt{1 - {(\frac{X}{A})}^{2}}}

$p\left(x\right)dx = \frac{dt}{T/2} = \frac{1}{\pi A}\frac{dx}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{A}\right)^2}}$

dónde $T$ es el período.

Deberías obtener el mismo resultado si comienzas con tu expresión para $x\left(t\right)$ , tenga en cuenta que $dt = -dx / \left[A \omega \sin\left(\omega t + \phi\right)\right]$ , y use $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ .

última ecuación debería tener $p(x)dx$ en lhs Y el factor de 2 debe estar en la parte superior (pasando dos veces por el $dx$ durante uno $T$ , o una vez durante $T/2$ ).
no debería $p(x)$ tiene un signo menos debido al signo menos en la derivada?
@RafaelWagner No estoy seguro de lo que quieres decir. Hay una ambigüedad de signo cuando sacas la raíz cuadrada de $\left(2E - k x^2\right)/m$ , pero es por eso que dije considerar la moción de $-A$ a $A$ , desde $dx/dt >= 0$ .
Creo que entiendo lo que has dicho. Gracias por la edición usando @udrv
@RafaelWagner Si prefiere usar su expresión para $x\left(t\right)$ , tenga en cuenta que también habrá una ambigüedad de signo allí, ya que $dt = -dx / \left[A \omega \sin\left(\omega t + \phi\right)\right] = \pm dx / \left[A \omega \sqrt{1 - \cos^2\left(\omega t + \phi\right)}\right]$

Probabilidad de encontrar el oscilador en alguna posición en [x,x+dx][x,x+dx][x,x + \mathrm dx]

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Ángulo de Eric

udv

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Ángulo de Eric

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