¿Cuál es el período de tiempo de un oscilador con constante de resorte variable?

Question

¿Cuál es el período de tiempo de un oscilador con constante de resorte variable?

dr_hongo

Es bien sabido que el período de tiempo de un oscilador armónico cuando la masa $m$ y constante de resorte $k$ son constantes es $T=2\pi\sqrt{m/k}$ .

Sin embargo, me interesaría saber cuál es el período de tiempo si $k$ no es constante He buscado horas tras horas las respuestas correctas de Google y no encontré nada. Estoy buscando una solución analítica.

floris

Cuando dices "no constante", ¿quieres decir "k depende del desplazamiento x"? En ese caso, tiene lo que se llama un "oscilador no lineal" (que puede buscar en Google. No existe una solución "analítica" única, y el período depende de la amplitud). Si la masa cambia, hay que preguntarse "¿cómo"? ¿Aumenta la masa? ¿Cuál es su impulso cuando "llega"? ¿Disminuye? Si es así, ¿la masa se expulsa por igual en todas las direcciones? Se necesitan algunas aclaraciones...

dr_hongo

Me interesaría el caso general donde k puede depender del desplazamiento o el tiempo o cualquier otra variable. ¿Esto podría ser imposible? Entonces podríamos pensar que k depende de t --> k(t). La masa no es variable sino constante.

dr_hongo

Y, olvidé mencionar: la amplitud de movimiento se conoce en esta situación

floris

En general, si k aumenta con el desplazamiento, la frecuencia aumenta con amplitudes mayores; si k disminuye, disminuye. El ejemplo estándar es un péndulo "real" que se vuelve no lineal en desplazamientos más altos. Eso ha sido bien estudiado. No conozco un enfoque general para "cualquier" oscilador no lineal, pero estas notas de clase son un comienzo.

dr_hongo

Gracias Floris por la respuesta! He estado tratando de entender cómo podría usar estas notas de clase (he estado tratando de leer muchas notas similares a las que me envían) pero debo decir que exceden mucho mi comprensión, incluso si tengo algo de educación en matemáticas (yo soy ingeniero). Esta pregunta es una especie de proyecto paralelo para mi proyecto de trabajo real.

floris

Desafortunadamente, si desea un enfoque general, se vuelve bastante difícil con bastante rapidez. Tal vez si hace una pregunta específica (aquí o en el sitio de matemáticas) obtendrá una respuesta específica que es más fácil de entender/seguir.

Respuestas (4)

¿Cuál es el período de tiempo de un oscilador con constante de resorte variable?

Cuando dices "no constante", ¿quieres decir "k depende del desplazamiento x"? En ese caso, tiene lo que se llama un "oscilador no lineal" (que puede buscar en Google. No existe una solución "analítica" única, y el período depende de la amplitud). Si la masa cambia, hay que preguntarse "¿cómo"? ¿Aumenta la masa? ¿Cuál es su impulso cuando "llega"? ¿Disminuye? Si es así, ¿la masa se expulsa por igual en todas las direcciones? Se necesitan algunas aclaraciones...
Me interesaría el caso general donde k puede depender del desplazamiento o el tiempo o cualquier otra variable. ¿Esto podría ser imposible? Entonces podríamos pensar que k depende de t --> k(t). La masa no es variable sino constante.
Y, olvidé mencionar: la amplitud de movimiento se conoce en esta situación
En general, si k aumenta con el desplazamiento, la frecuencia aumenta con amplitudes mayores; si k disminuye, disminuye. El ejemplo estándar es un péndulo "real" que se vuelve no lineal en desplazamientos más altos. Eso ha sido bien estudiado. No conozco un enfoque general para "cualquier" oscilador no lineal, pero estas notas de clase son un comienzo.
Gracias Floris por la respuesta! He estado tratando de entender cómo podría usar estas notas de clase (he estado tratando de leer muchas notas similares a las que me envían) pero debo decir que exceden mucho mi comprensión, incluso si tengo algo de educación en matemáticas (yo soy ingeniero). Esta pregunta es una especie de proyecto paralelo para mi proyecto de trabajo real.
Desafortunadamente, si desea un enfoque general, se vuelve bastante difícil con bastante rapidez. Tal vez si hace una pregunta específica (aquí o en el sitio de matemáticas) obtendrá una respuesta específica que es más fácil de entender/seguir.

capitán numérico · Answer 1

Aquí hay una solución para una fuerza de resorte que varía directamente con el desplazamiento. Por lo tanto, varía implícitamente con el tiempo, pero no tiene una dependencia explícita del tiempo ni de ninguna otra variable.

Datos y suposiciones

oscilador con masa $m$
amplitud de oscilación $A$
desplazamiento del oscilador, $x$ , varía con el tiempo, pero $x(t)$ es desconocido
el resorte aplica una fuerza que varía con el desplazamiento, $F(x)$
La función $F(x)$ es una función impar, es decir $F(-x) = -F(x)$ (de lo contrario, la amplitud podría ser diferente en las direcciones positiva y negativa; consulte a continuación qué hacer en este caso)
la posición de equilibrio es $x=0$ , eso es $F(0) = 0$ (solo por conveniencia)

Objetivo

Encuentre el período de oscilación, $T$

Solución

Partiendo de la conservación de la energía, la suma de las energías cinética y potencial de la masa debe ser igual a la energía total, que es constante.

k mi (X) + PAG mi (X) = mi

$KE(x)+PE(x)=E$

k mi (X) = \frac{1}{2} metro v^{2} (X)

$KE(x)=\frac{1}{2}mv^2(x)$

PAG mi (X) = \int_{0}^{X} d X^{'} F (X^{'})

$PE(x)=\intop_0^xdx'\,F(x')$ Entonces

P E (x)

$PE(x)$ es la energía potencial almacenada en el resorte, con

x^{'}

$x'$ como una simple variable de integración.
podemos pensar en

P E (x)

$PE(x)$ como otra forma de definir la relación fuerza-desplazamiento del resorte. Podemos definir la energía potencial frente al desplazamiento o la fuerza frente al desplazamiento, y obtener el otro es bastante fácil.

Ahora en $x=A$ , $KE(x=A)=0$ , entonces $PE(A)=E$ es conocida.

Y así tenemos

\frac{1}{2} metro v^{2} (X) = PAG mi (A) - PAG mi (X)

$\frac{1}{2}mv^2(x)=PE(A)-PE(x)$ Resolviendo para

v (x)

$v(x)$ ,

v (X) = \sqrt{\frac{2}{metro} (PAG mi (A) - PAG mi (X))}

$v(x)=\sqrt{\frac{2}{m}\left(PE(A)-PE(x)\right)}$

Porque $v=\frac{dx}{dt}$ , también podemos escribir

d t = \frac{d X}{v (X)}

$dt=\frac{dx}{v(x)}$ Integrando ambos lados, el tiempo para ir desde una posición

x_{0}

$x_0$ a

x_{1}

$x_1$ es

Δ t = \int_{X_{0}}^{X_{1}} \frac{d X}{v (X)}

$\Delta t = \intop_{x_0}^{x_1}\frac{dx}{v(x)}$ En particular, conocemos el tiempo necesario para pasar de

x = 0

$x=0$ a

x = A

$x=A$ es

T / 4

$T/4$ , entonces

T = 4 \int_{0}^{A} \frac{d X}{v (X)}

$T=4\intop_0^A\frac{dx}{v(x)}$

T = 4 \int_{0}^{A} \frac{d X}{\sqrt{\frac{2}{metro}} \sqrt{PAG mi (A) - PAG mi (X)}}

$T=4\intop_0^A\frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}}\sqrt{PE(A)-PE(x)}}$ lo que simplifica aún más a...

Resultado final

T = \sqrt{8 metro} \int_{0}^{A} \frac{d X}{\sqrt{PAG mi (A) - PAG mi (X)}}

$T=\sqrt{8m}\intop_0^A\frac{dx}{\sqrt{PE(A)-PE(x)}}$

Comprobación de resultado

Para el caso lineal, $F(x)=kx$ , entonces $PE(x)=\frac{1}{2}kx^2$ y $PE(A)=\frac{1}{2}kA^2$ , lo que da

T = \sqrt{8 metro} \int_{0}^{A} \frac{d X}{\sqrt{\frac{k}{2}} \sqrt{A^{2} - X^{2}}} = 4 \sqrt{\frac{metro}{k}} \int_{0}^{A} \frac{d X}{\sqrt{A^{2} - X^{2}}}

$T=\sqrt{8m}\intop_0^A\frac{dx}{\sqrt{\frac{k}{2}}\sqrt{A^2-x^2}} =4\sqrt{\frac{m}{k}}\intop_0^A\frac{dx}{\sqrt{A^2-x^2}}$ Esta integral se puede buscar en una tabla, para obtener

T = 4 \sqrt{\frac{metro}{k}} ({pecado}^{- 1} (1) - s i {norte}^{- 1} (0)) = 4 \sqrt{\frac{metro}{k}} \frac{π}{2}

$T=4\sqrt{\frac{m}{k}}\left(\sin^{-1}(1)-sin^{-1}(0)\right)=4\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{\pi}{2}$

T = 2 π \sqrt{\frac{metro}{k}}

$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ como se esperaba. (QED)

Podemos prescindir de la suposición de que $F(x)$ es impar si definimos dos valores de amplitud: $A_+ > 0$ para la amplitud en la dirección positiva y $A_- < 0$ para la amplitud en la dirección negativa.

La energía total del oscilador, $E = PE(A_+) = PE(A_-)$ , por lo que todavía podemos llamarlo $PE(A)$ siempre y cuando recordemos lo que eso significa ahora.

Entonces, el período es el doble del tiempo requerido para pasar de $A_-$ a $A_+$ , y entonces

T = 2 \int_{A_{-}}^{A_{+}} \frac{d X}{\sqrt{\frac{2}{metro}} \sqrt{PAG mi (A) - PAG mi (X)}}

$T=2\intop_{A_-}^{A_+}\frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}}\sqrt{PE(A)-PE(x)}}$

T = \sqrt{2 metro} \int_{A_{-}}^{A_{+}} \frac{d X}{\sqrt{PAG mi (A) - PAG mi (X)}}

$T=\sqrt{2m}\intop_{A_-}^{A_+}\frac{dx}{\sqrt{PE(A)-PE(x)}}$

Gran boceto de un marco general. Más útil que el método de Frobenius en la otra respuesta y también prescinde de la cuestión de la convergencia de la serie (que debería verificarse completamente en la otra respuesta).
+1: definitivamente mucho más práctico que el método Frobenius, jaja. La única ventaja que puedo ver del método Frobenius es que no tienes que tomar eso $F\left(x\right)$ es una función impar.
Para ti también: ¡Mierda, gracias! Esto es simple y genial.
Sigo pensando que el método de Frobenius es el camino a seguir para la dependencia explícita del tiempo, y también podría extenderse a otros casos. He agregado un suplemento que explica qué hacer si la función no es extraña. Simplemente creo que la explicación original es más simple si "amplitud" todavía significa lo que estamos familiarizados con el oscilador lineal.

Eric R. Anschuetz · Answer 2

De la segunda ley de Newton tenemos (si $k$ es constante o no) que:

metro \ddot{X} + k X = 0

$\begin{equation} m\ddot{x}+kx=0 \end{equation}$ La única diferencia es si o no

k

$k$ es una función de

t

$t$ O no. Si es una función de

t

$t$ , la única forma general de resolver esta ecuación diferencial es usando expansiones de Taylor. Tomemos:

X (t) = \sum_{norte = 0}^{\infty} a_{norte} t^{norte}

$\begin{equation} x\left(t\right)=\sum_{n=0}^\infty a_nt^n \end{equation}$ y:

k (t) = \sum_{norte = 0}^{\infty} b_{norte} t^{norte}

$\begin{equation} k\left(t\right)=\sum_{n=0}^\infty b_nt^n \end{equation}$ Nuestra ecuación diferencial entonces se convierte en:

\begin{aligned} metro \ddot{X} + k X & = 0 \\ ⟹ \sum_{norte = 2}^{\infty} metro norte (norte - 1) a_{norte} t^{norte - 2} + (\sum_{norte = 0}^{\infty} b_{norte} t^{norte}) (\sum_{norte = 0}^{\infty} a_{norte} t^{norte}) & = 0 \\ ⟹ \sum_{norte = 0}^{\infty} [metro (norte + 2) (norte + 1) a_{norte + 2} + \sum_{i = 0}^{norte} a_{i} b_{norte - i}] t^{norte} & = 0 \\ ⟹ metro (norte + 2) (norte + 1) a_{norte + 2} + \sum_{i = 0}^{norte} a_{i} b_{norte - i} & = 0 \forall norte \\ ⟹ a_{norte + 2} & = - \frac{\sum_{i = 0}^{norte} a_{i} b_{norte - i}}{metro (norte + 2) (norte + 1)} \forall norte \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} m\ddot{x}+kx&=0\\ \implies\sum_{n=2}^\infty mn\left(n-1\right)a_nt^{n-2}+\left(\sum_{n=0}^\infty b_nt^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty a_nt^n\right)&=0\\ \implies\sum_{n=0}^\infty\left[m\left(n+2\right)\left(n+1\right)a_{n+2}+\sum_{i=0}^na_ib_{n-i}\right]t^n&=0\\ \implies m\left(n+2\right)\left(n+1\right)a_{n+2}+\sum_{i=0}^na_ib_{n-i}&=0\forall n\\ \implies a_{n+2}&=-\frac{\sum_{i=0}^na_ib_{n-i}}{m\left(n+2\right)\left(n+1\right)}\forall n \end{aligned} \end{equation}$ como el

k (t)

$k\left(t\right)$ se conoce todo el

b_{n}

$b_n$ son conocidas, y si conocemos dos de nuestras condiciones iniciales, dos de las

a_{n}

$a_n$ son conocidos (digamos

a_{0}

$a_0$ y

a_{1}

$a_1$ ). Usando esta relación de recurrencia, uno puede leer todos los

a_{n}

$a_n$ --es decir, se conocen todos los coeficientes de la serie de Taylor para

x

$x$ . Realmente no se puede ver mucho más analíticamente en este caso súper general (para encontrar un punto, uno tendría que encontrar un

k (t)

$k\left(t\right)$ que generó

a_{n}

$a_n$ tal que

x (t)

$x\left(t\right)$ era periódico, y leía el período de esa función), pero una buena verificación de cordura es verificar si recuperamos nuestra misma respuesta cuando

k

$k$ es una constante

k_{c}

$k_c$ ; Eso es cuando

b_{0} = k_{c}

$b_0=k_c$ y

b_{n} = 0

$b_n=0$ para todos

n > 0

$n>0$ . En este caso encontramos que:

\begin{aligned} a_{2} & = - \frac{a_{0} k_{C}}{2 metro} \\ a_{3} & = - \frac{a_{1} k_{C}}{6 metro} \\ a_{4} & = \frac{a_{0} k_{C}^{2}}{24 {metro}^{2}} \\ ⋮ \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} a_2&=-\frac{a_0k_c}{2m}\\ a_3&=-\frac{a_1k_c}{6m}\\ a_4&=\frac{a_0k_c^2}{24m^2}\\ &\vdots \end{aligned} \end{equation}$ Siguiendo el patrón, notamos que el

a_{n}

$a_n$ incluso para

n

$n$ dar la serie de Taylor para

a_{0} \cos (\sqrt{\frac{k_{c}}{m}} t)

$a_0\cos\left(\sqrt{\frac{k_c}{m}}t\right)$ y el

a_{n}

$a_n$ por impar

n

$n$ dar la serie de Taylor para

a_{1} \sin (\sqrt{\frac{k_{c}}{m}} t)

$a_1\sin\left(\sqrt{\frac{k_c}{m}}t\right)$ , dando una frecuencia angular de

\sqrt{\frac{k_{c}}{m}}

$\sqrt{\frac{k_c}{m}}$ y por lo tanto un período de

2 π \sqrt{\frac{m}{k_{c}}}

$2\pi\sqrt{\frac{m}{k_c}}$ .

+1 Vea la respuesta de user89613 como complemento a la suya.

Guill · Answer 3

Guill

Para obtener algún tipo de respuesta práctica, debe determinar cómo varía k. Por ejemplo, si k varía con la temperatura, determinaría su valor a -50, 0 y 50 grados, luego usaría esos valores y calcularía T (que varía inversamente a la raíz cuadrada de k). Usaría más puntos si se requiere una mayor precisión. Si se requiere una fórmula, usaría la "curva de mejor ajuste" a través de los puntos para generarla.

dr_hongo

Con mucho gusto les muestro todo lo que estoy haciendo después de tener algunos resultados preliminares. El problema tenía algo que ver con el cilindro lleno de líquido. El cilindro también tiene pistón. Este pistón es empujado hacia abajo con un peso que se deja caer desde arriba. Todo este proceso se puede describir con bastante precisión con la ecuación mx''(t)+k(p)x(t)=0 en la que k depende de la presión. Esta dependencia de la presión de k se debe a que el líquido tiene una rigidez dependiente de la presión (sí, esto realmente es cierto, la presión es de miles de bares). Entonces el líquido actúa como un resorte. Bueno, entonces la pregunta es cómo obtener k(p)-->k(x)..

dr_hongo

El truco aquí es que también lo sé porque he medido x(t) y la p(t) correspondiente. A partir de este conocimiento creo que puedo calcular k(x). ¿Por qué estoy tan interesado en esto? Porque me gustaría medir la rigidez de ese resorte desde el período de oscilación. Y tal vez pueda hacerlo ahora que me hayas ayudado.

dr_hongo

Y casi me olvido de decir: dejé caer el peso desde diferentes alturas, por lo que conozco el período de oscilación con diferentes "pulsos" de presión.

dr_hongo

¿Y cuál podría ser el resultado práctico aquí? Solo para saber cómo funciona este tipo de dispositivo en teoría, no solo en la práctica.

przemo · Answer 4

Muy bien, según mi conocimiento, hay algunos casos con una constante de resorte dependiente del tiempo donde se conoce una solución de forma cerrada. Uno de mis favoritos es el siguiente, donde la constante de resorte es una función de potencia. Asumir que $k/m = \omega^2/t^\beta$ dónde $\omega \in {\mathbb R}$ y $\beta \ge 0$ . Entonces la ODE en cuestión tomará la forma:

{\ddot{X}}_{t} + \frac{ω^{2}}{t^{β}} X_{t} = 0

$\begin{equation} \ddot{x}_t + \frac{\omega^2}{t^\beta} x_t = 0 \end{equation}$ y tiene las siguientes soluciones linealmente independientes:

\sqrt{t} j_{\pm \frac{1}{2 β - 2}} [\frac{ω}{β - 1} t^{1 - β}]

$\begin{equation} \sqrt{t} J_{\pm \frac{1}{2 \beta-2}}\left[\frac{\omega}{\beta-1} t^{1-\beta} \right] \end{equation}$ dónde

J_{\cdot} []

$J_\cdot[]$ es una función de Bessel.

El resultado se prueba de varias maneras diferentes en https://math.stackexchange.com/questions/673737/solution-to-a-second-order-ordinary- differential-equation .

El siguiente código de Mathematica proporciona una "prueba" rápida y sucia:

In[166]:= w =.; b =.; t =.;
Table[FullSimplify[(D[#, {t, 2}] + w^2/t^(2 b) #) & /@ {Sqrt[
      t] BesselJ[eps/(2 b - 2), w/(b - 1) t^(1 - b)]}], {eps, -1, 1, 
  2}]

Out[167]= {{0}, {0}}

Ahora, habiendo dicho todo esto, sería natural generalizar nuestra EDO reemplazando la función de potencia por una combinación lineal de dos funciones de potencia. En otras palabras buscamos soluciones a la siguiente ODE:

{\ddot{X}}_{t} + (\frac{ω_{1}^{2}}{t_{1}^{β}} + \frac{ω_{2}^{2}}{t_{2}^{β}}) X_{t} = 0

$\begin{equation} \ddot{x}_t + \left(\frac{\omega_1^2}{t^\beta_1} + \frac{\omega_2^2}{t^\beta_2}\right)x_t = 0 \end{equation}$

Durante mucho tiempo he estado luchando para resolver este problema sin ningún éxito considerable (sin embargo, vea esto https://math.stackexchange.com/questions/1018897/an-ordinary-differential-equation-with-time-varying-coficients ). La forma habitual de "conectar el resultado en Mathematica" o "preguntar a un matemático" no ha llevado a nada. Como parece, las matemáticas, como de costumbre, están rezagadas varias décadas con respecto a la física y nunca se pondrán al día...;-).

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Respuestas (4)

capitán numérico

Datos y suposiciones

Objetivo

Solución

Resultado final

Comprobación de resultado

Selene Routley

Eric R. Anschuetz

dr_hongo

capitán numérico

Eric R. Anschuetz

Selene Routley

dr_hongo

Guill

dr_hongo

dr_hongo

dr_hongo

dr_hongo

przemo

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Encontrar el período de una oscilación anarmónica sustituyendo la solución por SHM

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