Transformación de coordenadas en Lagrangiano

Question

Transformación de coordenadas en Lagrangiano

áster kleel

Lagrangiano para un problema de fuerza central es:

L = \frac{1}{2} m (\dot{r} + r^{2} ({\dot{θ}}^{2} + s i {norte}^{2} θ \cdot {\dot{φ}}^{2})) - tu (r)

$\mathcal{L} = \frac{1}{2}\mu(\dot{r} + r^{2}(\dot{\theta}^{2} + sin^{2}\theta\cdot \dot{\varphi}^{2})) - U(r)$

Sabemos que el momento angular se define como:

\vec{L} = m \cdot \vec{r} \times \dot{\vec{r}}

$\overrightarrow{L} = \mu \cdot \overrightarrow{r} \times \dot{\overrightarrow{r}}$

∴ \vec{r} (t) \cdot \vec{L} = 0,

$\therefore \hspace{0.5cm} \overrightarrow{r}(t)\cdot \overrightarrow{L} = 0, \hspace{0.5cm}$ significa que el movimiento tiene lugar en un solo plano.

Por la transformación de coordenadas podemos tener movimiento en el plano xy. Por lo tanto, significa que tenemos un momento angular en $\hat{Z}$ dirección.

∴ θ = C o s^{- 1} (\frac{\vec{L} \cdot \hat{Z}}{| | \vec{L} | |})

$\therefore\hspace{0.5cm} \theta = cos^{-1}\bigg( \frac{\overrightarrow{L}\cdot \hat{Z}}{||\overrightarrow{L}||}\bigg)$ dónde,

\vec{L} = m \cdot r^{2} (- (\dot{θ} \cdot pecado φ + \frac{1}{2} \cdot φ \cdot pecado 2 θ \cdot porque φ) \hat{X} + (\dot{θ} \cdot porque φ - \frac{1}{2} \cdot φ \cdot pecado 2 θ \cdot pecado φ) \hat{Y} + (\dot{φ} \cdot {pecado}^{2} θ) \hat{Z})

$\overrightarrow{L} = \mu \cdot r^{2}\bigg(-\big(\dot{\theta}\cdot \sin\varphi\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} \frac{1}{2}\cdot\varphi\cdot \sin2\theta\cdot\cos\varphi)\hat{X}\hspace{0.1cm} + (\dot{\theta}\cdot \cos\varphi\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm} \frac{1}{2}\cdot\varphi\cdot \sin2\theta\cdot\sin\varphi)\hat{Y} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \big(\dot\varphi\cdot\sin^{2}\theta\big)\hat{Z}\bigg)$ y,

| | \vec{L} | | = m \cdot r^{2} ({\dot{θ}}^{2} + {\dot{φ}}^{2} {pecado}^{4} θ)^{1 / 2}

$||\overrightarrow{L}|| = \mu\cdot r^{2}\big(\dot\theta^{2}+\dot\varphi^{2}\sin^4\theta\big)^{1/2}$

⟹ θ = C o s^{- 1} (\frac{\dot{φ} \cdot {pecado}^{2} θ}{({\dot{θ}}^{2} + {\dot{φ}}^{2} {pecado}^{4} θ)^{1 / 2}})

$\implies \theta = cos^{-1}\Bigg( \frac{\dot\varphi\cdot\sin^{2}\theta}{\big(\dot\theta^{2}+\dot\varphi^{2}\sin^4\theta)^{1/2}}\Bigg)$

No puedo saber cómo transformar la coordenada de tal manera que el nuevo Lagrangiano se convierta en ,

L_{mi F F} = \frac{1}{2} m (\dot{r} + r^{2} {\dot{φ}}^{2}) - tu (r)

$\mathcal{L}_{eff} = \frac{1}{2}\mu\big(\dot{r} + r^{2}\dot{\varphi}^{2}\big) - U(r)$

Vladímir Kalitvianski

algle

θ

$\theta$ no es una variable, es una constante. Solo usa su valor.

áster kleel

Lagrangiano se escribe en coordenadas esféricas donde r,

θ

$\theta$ ,

φ

$\varphi$ es variable Por favor, hágamelo saber cómo

θ

$\theta$ no es una variable

áster kleel

@Eli

\vec{r}

$\overrightarrow{r}$ es el vector que está a lo largo del vector unitario

\hat{r}

$\hat{r}$ , dónde:

\hat{r} = \sin θ \cdot \cos φ \hat{X} + \sin θ \cdot \sin φ \hat{Y} + \cos θ \hat{Z}

$\hat{r} = \sin\theta\cdot\cos\varphi\hat{X} + \sin\theta\cdot\sin\varphi\hat{Y} + \cos\theta\hat{Z}$

eli

si veo mi error

eli

\vec{r} \cdot \vec{L}

$~\vec{r}\cdot\vec{L}~$ es solo cero si

\cos^{2} (θ) - \cos^{2} (ϕ) = 0

$~\cos^2(\theta)-\cos^2(\phi)=0$ o

θ = ϕ

$~\theta=\phi$ con esto obtienes el

L_{e f f} = \dots

$~\mathcal{L}_{eff}=\ldots$

áster kleel

@Eli como puedes ver

\vec{L} = μ \cdot \vec{r} \times \dot{\vec{r}}

$\overrightarrow{L} = \mu \cdot \overrightarrow{r} \times \dot{\overrightarrow{r}}$ ,

∴

$\therefore$

\vec{L}

$\overrightarrow{L}$ es perpendicular a

\vec{r}

$\overrightarrow{r}$ . Cualquier producto escalar con un vector perpendicular es siempre cero. Creo que no necesitamos esta condición.

Respuestas (1)

Transformación de coordenadas en Lagrangiano

algle $\theta$ no es una variable, es una constante. Solo usa su valor.
Lagrangiano se escribe en coordenadas esféricas donde r, $\theta$ , $\varphi$ es variable Por favor, hágamelo saber cómo $\theta$ no es una variable
@Eli $\overrightarrow{r}$ es el vector que está a lo largo del vector unitario $\hat{r}$ , dónde: $\hat{r} = \sin\theta\cdot\cos\varphi\hat{X} + \sin\theta\cdot\sin\varphi\hat{Y} + \cos\theta\hat{Z}$
$~\vec{r}\cdot\vec{L}~$ es solo cero si $~\cos^2(\theta)-\cos^2(\phi)=0$ o $~\theta=\phi$ con esto obtienes el $~\mathcal{L}_{eff}=\ldots$
@Eli como puedes ver $\overrightarrow{L} = \mu \cdot \overrightarrow{r} \times \dot{\overrightarrow{r}}$ , $\therefore$ $\overrightarrow{L}$ es perpendicular a $\overrightarrow{r}$ . Cualquier producto escalar con un vector perpendicular es siempre cero. Creo que no necesitamos esta condición.

Krup'a · Answer 1

Dado que el movimiento es en un plano, de hecho se puede suponer que el movimiento es en el $xy$ -avión, es decir, el $\theta=\pi/2$ -avión. El Lagrangiano para el sistema restringido a la $\theta=\pi/2$ -el plano viene dado por el establecimiento $\dot\theta=0$ y $\theta=\pi/2$ en el Lagrangiano dado.

@krupa En primer lugar, no quiero asumir $\theta$ a cualquier valor. Movimiento en el plano xy, significa que el momento angular apunta en $\hat{z}$ dirección. Me puedes dar alguna region fisica para dar $\dot\theta$ ser cero De Euler - Ecuación de Lagrange obtendré la relación de $\theta$ , eso es : $2\cdot\ddot{\theta} = \sin2\theta\cdot \dot{\varphi}^{2}$ .
No puede obtener el Lagrangiano a continuación simplemente cambiando las coordenadas en el Lagrangiano original. Contiene un grado de libertad menos que el Lagrangiano original. Debido a que el Lagrangiano es rotacionalmente simétrico, el momento angular se conserva y puedes argumentar (como lo hiciste) que el movimiento es en un plano (pero no en cuál). Pero entonces puedes concluir que es suficiente buscar una solución en un plano específico. Esto no da la solución general del problema original. Sin embargo, todas las soluciones se pueden obtener mediante la rotación de soluciones del Lagrangiano restringido.

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Vladímir Kalitvianski

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eli

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Krup'a

áster kleel

Krup'a

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