¿Cómo pueden ser válidos los silogismos con premisas contradictorias?

El principio al que se refiere su pregunta se llama principio de explosión, oa veces se usa la expresión latina, ex contradictione quodlibet, es decir, de una contradicción se sigue cualquier cosa. Es una característica de la lógica clásica, y también de muchas otras lógicas, aunque no de todas las lógicas. Las lógicas que no tienen el principio de explosión se llaman paraconsistentes .

Hay dos formas de ver por qué se debe mantener el principio de explosión. Una es que puede probarse mediante reglas simples. Supongamos que comenzamos con una contradicción "A y no A". Entonces podemos llegar a cualquier conclusión arbitraria B de la siguiente manera:

1. A and not A        (assumption)
2. A                  (follows from 1)
3. A or B             (follows from 2 by addition)
4. not A              (follows from 1) 
5. B                  (follows from 3 and 4 by disjunctive syllogism)

Una segunda forma de demostrar el principio de explosión es usar la explicación de validez que citó en su primera oración. Un argumento es válido si es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. En realidad, este es solo un primer paso aproximado para explicar la validez y hay mejores explicaciones, pero servirá para nuestros propósitos. Si las premisas de un argumento son contradictorias, entonces es imposible que todas ellas sean verdaderas, por lo que a fortiori es imposible que sean verdaderas y la conclusión falsa.

El principio de explosión a menudo parece extraño para los recién llegados a la lógica, pero una vez que le coges el truco, no es realmente un problema. En la lógica clásica ninguna contradicción es verdadera, por lo que un argumento con premisas contradictorias nunca puede ser sólido, es decir, nunca puede ser válido y tener premisas verdaderas. Incluso puedes pensar en el principio de explosión como una especie de camisa de fuerza que hace cumplir la regla de que ninguna contradicción es cierta. Si una contradicción fuera cierta, las consecuencias serían catastróficas porque todo seguiría. Así que nunca debemos permitir verdaderas contradicciones.

El principio de explosión también es muy útil en matemáticas. Supongamos que deseamos probar que una teoría es consistente. Una teoría inconsistente implica una contradicción y por explosión prueba cualquier cosa. Entonces, por contraposición, si hay incluso una fórmula que puede demostrarse que no es demostrable mediante una teoría, entonces la teoría es consistente. Esto fue utilizado por un inteligente lógico llamado Gentzen para probar la consistencia de la aritmética.

• Vía indirecta: cuando quieres demostrar que un razonamiento no es válido, ¿qué haces? demuestras que es posible (1) que todas las premisas sean verdaderas y (2) al mismo tiempo que la conclusión sea falsa. ¿Podrías hacer eso aquí? Para tener (1) y (2) , necesitas tener (1) ? ¿Puedes demostrar que es posible que todas las premisas sean verdaderas? No, ya que uno de ellos es contradictorio, entonces, claro, no es posible que todos ellos sean verdaderos ya que uno de ellos es contradictorio. Conclusión: no hay ningún caso posible en el que el razonamiento no sea válido.

Manera directa:

• Un razonamiento es válido si el siguiente condicional es verdadero:

para todos los casos/situaciones/interpretaciones posibles, si todas las premisas son verdaderas, entonces la conclusión es verdadera.

• "todas las premisas son verdaderas" es el antecedente de la proposición que expresa la prueba de validez.

• Pero: una declaración si-entonces es automáticamente verdadera cuando su antecedente es falso (vea la tabla de verdad del operador "si... entonces"

• Dado que el antecedente "todas las premisas son verdaderas" es necesariamente falso (por el hecho de que una de las premisas es contradictoria), todo el enunciado "si... entonces" es verdadero en todos los casos posibles.

• Este es un argumento a fortiori : dado que no hay ningún caso posible en el que una de las premisas sea verdadera, no hay, a fortiori, ningún caso posible en el que todas las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.

• Nota: esto demuestra que la validez no es condición suficiente para que un razonamiento sea bueno (aunque es necesaria en caso de que el razonamiento sea deductivo), o, más aún, que la validez no es condición suficiente para que un razonamiento sea bueno. ser prueba de nada; obviamente, un razonamiento que involucre una premisa contradictoria no puede probar nada, incluso cuando su conclusión es verdadera (ya que una prueba debe basarse en afirmaciones verdaderas)

El sistema en el que está trabajando tiene algunos nombres, uno de los cuales es lógica de término . La lógica de términos no es lo mismo que la lógica clásica y tienes que tomar algunas decisiones cuando la estudias.

La inferencia que estás describiendo es válida en lógica clásica. Los silogismos se utilizan con frecuencia como herramienta de enseñanza para introducir la lógica de primer orden, ya que son sintácticamente similares al lenguaje natural. Sin embargo, hay más de una forma de interpretar la lógica de los términos y más de una forma de analizarla.

This applese refiere exactamente a una manzana específica y, por lo tanto, no puede ser manejado directamente por el marco silogístico. Sin embargo, podemos parafrasearlo usando un universal. La conclusión 1 + 1 = 2tampoco tiene una representación en la lógica de términos, pero la estás usando como un ejemplo de conclusión irrelevante, así que la reemplazaré con all numbers are even.

P1: Every instance of this apple is red.
P2: No instance of this apple is red.
C:  All numbers are even.

Si este silogismo es válido o no depende de tu punto de vista.

Desde la perspectiva de la lógica clásica moderna ( lógica clásica de primer orden ), esta inferencia es válida debido a ex falso quodlibet .

Sin embargo, debido a que el lenguaje de la lógica de términos es tan limitado, los filósofos históricos pudieron escribir las inferencias válidas y hay algunas lagunas que son reveladoras.

Por ejemplo, el siguiente silogismo es válido según la semántica de la lógica clásica moderna, pero no figura como silogismo válido.

All A are B.
All B are C.
---------------
Some A are C.

El siguiente silogismo, que es similar en espíritu a su pregunta, tampoco está certificado (tenga en cuenta que la última conclusión es arbitraria).

All A are B.
No A are B.
-------------
Some C are D.

Considere el siguiente silogismo: P1: Esta manzana es roja. P2: Esta manzana no es roja. C: Por lo tanto, 1+1=2. ¿Es válido este silogismo?

No claro que no.

Es obvio para toda persona lógica que la conclusión no se sigue de las premisas.

Sí, la lógica matemática dice que tales argumentos son válidos, pero esto solo muestra que, si bien la lógica matemática es matemática, no es lógica.

La lógica matemática se basa en una definición redactada de validez, redactada de manera que sea compatible con la implicación material y el llamado "principio de explosión", que definitivamente no es en sí mismo un principio lógico y, sin embargo, es intrínseco a la lógica matemática.

La única lógica clásica verdadera, a saber, la silogística de Aristóteles, se basa en la noción de que hay una lógica. Esta ha sido la posición fundamental que los lógicos han mantenido desde entonces. Incluso George Boole pensó de esa manera. En su primer libro publicado en 1847, habló de su cálculo como modelo de " razonamiento deductivo ", correspondiendo cada elemento del mismo a un elemento del " intelecto humano ".

Sin embargo, su modelo era erróneo e inevitablemente diferentes matemáticos pronto desarrollaron sus propios modelos alternativos, ninguno de los cuales modela correctamente la lógica deductiva humana. Esta es la razón por la que los matemáticos ahora afirman que la lógica es arbitraria y que no hay razón para que haya una sola lógica, aunque la gramática de la palabra "lógica" en sí misma no deja espacio para la interpretación. Decimos "lógica", no "una lógica" o "lógicas", por lo que los matemáticos tienen que hablar de "sistemas de lógica" para hablar de las diversas teorías matemáticas presentadas como lógica (lógica de primer orden, etc.). La lógica es la única lógica del razonamiento deductivo humano.

Esta es también la razón por la que preguntas similares a esta surgen una y otra vez, y por la que a tantos estudiantes les cuesta entender la implicación material y los maestros tienen que usar un argumento falaz para convencer a los estudiantes de que la implicación material es, sin embargo, el modelo adecuado de el condicional.

La validez del silogismo se deriva de la definición de validez que usted estableció correctamente: "Un silogismo es válido si es imposible que las premisas sean verdaderas y, al mismo tiempo, la conclusión sea falsa". En "P1: Esta manzana es roja. P2: Esta manzana no es roja. C: Por lo tanto, 1+1=2". es imposible que ambas premisas sean verdaderas. Por lo tanto, es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa (porque es imposible que las premisas sean verdaderas). [(P^~P)=>Q] es una tautología. Porque un condicional solo es verdadero si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, y el antecedente de ese condicional (P^~P) nunca puede ser verdadero.