¿Por qué siempre se usan seno/coseno para describir oscilaciones?

Parte de ello es que la mecánica newtoniana se describe en términos de cálculo .

Cuando consideramos los movimientos vibratorios, estamos hablando de alguna partícula que tiende a no ser desplazada de alguna posición de equilibrio. Es decir, la fuerza sobre la partícula, en el desplazamiento$x$,$F(x)$, es igual a alguna función de desplazamiento$x$,$g(x)$.

Hay dos formas en que el cálculo se involucra aquí. En primer lugar,$F=ma$, y$a$, aceleración, es una "tasa de cambio" y por lo tanto un concepto de cálculo. Entonces tenemos$ma(x)=g(x)$.

Ahora, tratando con una función general$g$es demasiado difícil, no llegaremos a ninguna parte con él. Entonces, ¿cómo podemos proceder de la manera más general? Un método fructífero es hacer una expansión de Taylor.$g(x)=g(0)+g'(0) x+\frac{1}{2} g''(0) x^2+\frac{1}{3!} g^{(3)}(0)x^3+\cdots$, donde estos son los$g^{(n)}(x)$es la n-ésima derivada de g en el punto x.

Si queremos$x=0$para ser una posición de equilibrio, debemos tener$g(0)=0$- no hay ninguna fuerza sobre la partícula en equilibrio. Si queremos que sea un equilibrio estable que tenderá a volver a su posición original, debemos tener$g'(0)<0$. Todos los demás derivados son juego limpio. Escritura$-k=g'(0)$:

Por lo tanto, es inevitable que, con estas definiciones de "equilibrio estable", el patrón vibratorio resultante en pequeñas amplitudes sea sinusoidal. Siempre. eso es lo que hace$\cos$y$\sin$especial desde el punto de vista físico.

(por supuesto, también hemos asumido tácitamente que$g$es una buena función que es agradable, suave y diferenciable, pero generalmente se hace eso cuando se trabaja en problemas de estilo newtoniano)

Una de las grandes razones no discutidas anteriormente es la teoría de Fourier: cualquier función$f(x)$se puede expresar en la forma$f(x) = \int dk\, A(k)e^{ikx}$, lo que básicamente significa que cualquier función se puede descomponer en una suma infinita de senos y cosenos. Dado que este es el caso y tratar con seno y coseno es matemáticamente más simple que el caso general de las funciones periódicas, ¿por qué preocuparse por esto último, cuando siempre se puede reexpresar cualquier función como una suma de senos y conos, y una solución en esta forma es completamente isomorfo con el caso general, asumiendo que su ecuación base es lineal?

Porque los ciclos y las oscilaciones y las cosas con periodicidad, están íntimamente relacionadas con el círculo. Y$sin$y$cos$se definen en base al círculo.

Una respuesta literal a su pregunta del título sería simplemente "porque en el mundo físico, las oscilaciones se comportan de manera consistente con$\sin$y$\cos$." Por supuesto, uno entonces se pregunta por qué estas funciones son tan ubicuas.

Dependiendo de su nivel de formación en física, puede estar familiarizado con el oscilador armónico, es decir, un sistema para el que existe una fuerza de restauración proporcional al desplazamiento. Por ejemplo, el movimiento de un resorte es armónico simple (ya que según la Ley de Hooke, la fuerza restauradora es proporcional a la cantidad de estiramiento de una cuerda) y el movimiento de un péndulo para amplitudes de ángulo pequeño es armónico simple. De hecho, cualquier objeto en equilibrio estable se moverá armónicamente para pequeñas perturbaciones.

Hablando cuantitativamente, queremos decir que para el movimiento armónico simple,$F = - k x$por algún desplazamiento$x$. Es más,$F = ma = m \frac{d^2x}{dt^2}$, entonces combinando estas dos ecuaciones, encontramos que

Esta es una ecuación diferencial que debe ser resuelta para encontrar$x(t)$. Resulta que la solución de esta ecuación es una expresión de la forma$A \sin( \omega t - \phi)$para constantes$A$,$\omega$, y$\phi$- para verificar esto usted mismo, conecte una función como$x(t) = 2 sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t - \frac{\pi}{2}\right)$.

Dado que el movimiento armónico simple es la forma más común de oscilación, el movimiento armónico simple se describe usando$\sin$y$\cos$, la mayoría de las oscilaciones en física siguen estas funciones trigonométricas.

La cicloide no aparece tanto como$\sin$y$\cos$simplemente porque no hay razón para ello. No hay muchos fenómenos físicos que sigan trayectorias cicloides, ya que la cicloide es una forma tan compleja en comparación con la bastante simple.$\sin(\theta) = \operatorname{Im}({e^{i \theta}})$y$\cos(\theta) = \operatorname{Re}({e^{i \theta}})$.

Esta pregunta me recuerda algunos comentarios en las páginas 14-16 de las notas de mecánica cuántica y teoría de la representación de Peter Woit.

Básicamente, imagina que estás viendo todas las funciones periódicas desde los números reales hasta los complejos. Esto es equivalente a mirar todas las funciones desde el círculo unitario hasta los números complejos. Agreguemos la propiedad que queremos a nuestra función$f$ser tal que$f(\theta_1 + \theta_2) = f(\theta_1)f(\theta_2)$(Es cierto que es arbitrario hacer esto en este punto, pero al menos es una propiedad elegante:)).

Entonces, es un hecho que nuestra función tiene que ser de la forma$\theta \rightarrow e^{ik\theta} = \cos(k\theta) + i\sin(k\theta)$, para un número entero$k$. Así que esto introduce por qué uno se preocuparía por las opciones trigonométricas en particular y no por otras formas de describir las oscilaciones.

Si uno mira lo que está pasando en la prueba, básicamente se reduce al hecho de que las funciones trigonométricas tienen buenas propiedades en términos de diferenciación y relación entre sí, por ejemplo

Sí, hay alternativas. Pero una gran parte de la confianza en senos y cosenos es histórica. El análisis de los sistemas mecánicos oscilantes se centró naturalmente en los senos, ya que así es como vibran las cosas. Con ese marco en su lugar, resultó que los sistemas eléctricos y magnéticos también respondieron. Además (o quizás se podría decir alternativamente) el movimiento circular se descompone fácilmente en senos y cosenos. Y la lista continúa.

En cuanto a las alternativas, las formas de onda periódicas limitadas y de buen comportamiento se pueden descomponer en senos y cosenos a través de la transformada de Fourier, y la FT se puede extender poderosamente a la transformada de Laplace. Los cicloides son interesantes, pero se comportan mal: requieren dy/dx infinitos. Y eso, a su vez, los hace inadecuados para aplicarlos a problemas que NO tienen dy/dx infinitos, que es casi todo.

Eso no quiere decir que NO haya alternativas para algunas aplicaciones; consulte la teoría de las ondículas.

Otra razón es que percibimos que el tiempo siempre avanza y vemos muchos ejemplos de rotación con revoluciones constantes, por lo que es natural que expresemos las oscilaciones en términos de tiempo al ángulo más el radio y desde esa posición x, y.

Seno y Coseno por definición nos dan las coordenadas x,y dado un ángulo y radio de 1, por lo que es conveniente usarlos.

En pocas palabras, nuestro universo tiende a operar de una manera en la que la presencia de algo altera la tasa de alguna variable relacionada. Se podría decir que el universo opera constantemente por interés para cada acción, donde cada cambio instantáneo afecta el futuro del sistema. Resulta que matemáticamente este es un ejemplo del mundo real de crecimiento exponencial. Se podría decir que, en esencia, la mayoría de las propiedades de las cosas que observamos en el universo ocurren exponencialmente. La exponencial canónica en la que pensamos es e^x.

Ahora apuesto a que te estás preguntando por qué menciono exponenciales en una pregunta sobre senos y cosenos. La razón es que los senos y los cosenos son en realidad funciones exponenciales cuando el exponente de nuestro interés involucra números imaginarios. Exactamente como la tasa de crecimiento de algo en el crecimiento exponencial clásico aumenta a medida que aumenta la variable independiente, cuando tratamos con senos y cosenos, la cantidad exacta de material presente crea un sistema que responde aumentando en ciertos intervalos y disminuyendo en otros.

En esencia, puede pensar en esto como una forma especial de crecimiento exponencial donde todo su valor anterior fuera de la longitud de onda actual que está examinando no importa, y en realidad es solo la cantidad de su variable en exceso de algún múltiplo de su material que Afecta las propiedades a granel.

Para pensarlo pictóricamente, dibuja un gráfico con un eje real e imaginario. Dibuja un punto en la recta numérica, luego multiplica ese número por un número real y luego por un número imaginario y repite esto. Notará que el número real escala el valor mientras que el número imaginario gira la flecha. Asignar este comportamiento a exponenciales crea exponenciales donde el crecimiento 'escala' (el e^x clásico en el que pensamos), o el crecimiento 'rota' (seno y coseno).