Ecuación de onda vs Helmholtz

El paso de la ecuación de onda dependiente del tiempo completo$(\mathrm{W})$a la ecuación de Helmholtz$(\mathrm{H})$es nada más y nada menos que una transformada de Fourier. Para funciones suficientemente regulares, ambos$u$y$F$pueden escribirse como superposiciones de campos monocromáticos, es decir, ambos son transformadas de Fourier de la forma

$$u(x,t) = \int_{-\infty}^\infty U(x,\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega \quad\text{and} \quad f(x,t) = \int_{-\infty}^\infty F(x,\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega,$$ donde los coeficientes temporales de Fourier $U(x,\omega)$y $F(x,\omega)$dependen de la posición - o, cambiando de perspectiva, nos dan funciones de $x$para cada $\omega$. Ahora, todo lo que hemos hecho hasta ahora es una elegante reescritura de nuestras variables, pero hay dos aspectos cruciales de la ecuación de onda que hacen que esto sea útil:

• es lineal y
• la única dependencia del tiempo es a través de$\partial_t^2$, que es un operador lineal cuyas funciones propias son precisamente el núcleo de Fourier, es decir$\partial_t^2 e^{-i\omega t} = -\omega^2 e^{-i\omega t}$.

La linealidad nos permite dividir los operadores lineales de la ecuación de onda hasta los coeficientes de Fourier y la relación de valor propio para$\partial_t$nos permite cambiar esa diferenciación parcial a un factor algebraico en ese sector, dándonos

$$\begin{align} 0 & = -\partial_{t}^2 u(x,t) + c^2 \nabla^2 u(x,t) + f(x,t) \\ & = -\partial_{t}^2 \int_{-\infty}^\infty U(x,\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega + c^2 \nabla^2 \int_{-\infty}^\infty U(x,\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega + \int_{-\infty}^\infty F(x,\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega \\ & = \int_{-\infty}^\infty \left[ -U(x,\omega) \partial_{t}^2 e^{-i\omega t} + c^2 \nabla^2 U(x,\omega) e^{-i\omega t} + F(x,\omega) e^{-i\omega t} \vphantom{\sum}\right]\mathrm d\omega \\ & = \int_{-\infty}^\infty \left[ \omega^2U(x,\omega) + c^2 \nabla^2 U(x,\omega) + F(x,\omega) \vphantom{\sum}\right] e^{-i\omega t} \mathrm d\omega . \tag{1} \end{align}$$ A partir de aquí, es fácil ver que si $f(x,t)$se da (entonces $F(x,\omega)$también se da), podemos encontrar una solución de la ecuación original estableciendo $U(x,\omega)$ser una solución de la ecuación de Helmholtz, $$c^2 \nabla^2 U(x,\omega) + \omega^2U(x,\omega) = - F(x,\omega)$$ o con el cambio cosmético $k=\omega/c$, $$\nabla^2 U(x,\omega) + k^2U(x,\omega) = - \frac{1}{c^2} F(x,\omega).$$ (Además, es fácil demostrar que la transformada de Fourier en $(1)$significa que esta es una condición necesaria, pero si todo lo que está haciendo es encontrar soluciones, en lugar de caracterizar la solución general, entonces la suficiencia es suficiente).

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OK, ese es el lado formal. ¿Cómo se usa esto en el mundo real? Hay tres formas principales en que uno usa esto.

1. La más clara es cuando la ecuación de onda está siendo forzada por una fuente que es en sí misma monocromática (o lo suficientemente cercana a monocromática como para que a su situación no le importe la diferencia), o en términos de la amplitud de Fourier$F(x,\omega) = F(x) \delta(\omega-\omega_0)$. Este es el caso, por ejemplo, cuando se considera la emisión electromagnética de una antena ajustada a una banda de frecuencias muy estrecha.

   Físicamente hablando, la ecuación de Helmholtz$(\mathrm{H})$ codifica la propagación, en un sentido muy real, excepto que está considerando de una sola vez la superposición coherente de la emisión que proviene de una fuente que siempre está encendida y oscilando a una frecuencia constante durante todo el tiempo. En este caso, espera que la respuesta física sea de la misma frecuencia, pero la respuesta espacial puede complicarse en presencia de reflejos, medios dispersivos o lo que sea; resolvemos la ecuación de Helmholtz para encontrar esa respuesta espacial.

   En este caso,$\omega$es obviamente arreglado por el controlador externo.

2. Una aplicación separada es cuando resolvemos los modos resonantes del dominio en cuestión; estas son soluciones distintas de cero a la ecuación de Helmholtz que se mantienen incluso cuando el conductor$F$es cero, y son importantes, por ejemplo, cuando$F$es un impulso que está confinado en el tiempo, como golpear un tambor, y los efectos se dejan resonar en un dominio confinado del que la energía no puede salir fácilmente.

   En este caso,$\omega$está fijada por el dominio a una de un conjunto discreto de frecuencias resonantes que sostienen soluciones distintas de cero de$(\mathrm{H})$incluso cuando el controlador es cero, y el proceso de resolver la ecuación de Helmholtz incluye encontrar esas frecuencias resonantes. El objetivo final en este cálculo es un conjunto de frecuencias resonantes$\{\omega_n\}$con un conjunto correspondiente de soluciones$\{u_n(x)\}$que satisfacen la ecuación de Helmholtz homogénea a esa frecuencia y que forman una base completa, en el$L_2$sentido, para funciones sobre el dominio en cuestión.

   Para conciliar esto con el conductor, el caso más simple es considerar un conductor impulsivo, es decir, algo de la forma$f(x,t) = f(x)\delta(t)$, con transformada plana de Fourier. En este caso, todos los modos ven el impulso, pero solo los modos resonantes pueden responder. En este caso, se descompone$f(x)$como una combinación lineal de los$u_n(x)$, y esto te dice cuánto se excita cada modo, lo que determina la evolución temporal después de que desaparece el impulso.

   ¿Describe esto "propagación" en un sentido adecuado? Bueno, en última instancia, está resolviendo la propagación de una perturbación impulsiva inicial, como tocar una cuerda, al encontrar una descomposición inteligente de esa perturbación inicial en términos de modos que evolucionan limpiamente (monocromáticamente) en el tiempo. Entonces sí.

3. Finalmente, también existe el caso en el que solo tiene un controlador arbitrario$f(x,t)$para la ecuación de onda, y todo lo que se puede decir acerca de su transformada de Fourier es que existe. En este caso,$\omega$no es 'elegido', como tal: en cambio, es un parámetro continuo del problema, donde resuelve un conjunto continuo de ecuaciones de Helmholtz no homogéneas separadas para obtener el$U(x,\omega)$, y luego los sumas todos coherentemente para obtener$u(x,t) = \int_{-\infty}^\infty U(x,\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega$.

   Sin embargo, es importante no subestimar la importancia de lo que puede decir sobre$F$: simplemente diciendo "la transformada temporal de Fourier de$f(x,t)$existe", estás diciendo que$f(x,t)$puede entenderse como una superposición de ondas monocromáticas, cada una de las cuales puede resolverse de forma independiente y que provocará alguna respuesta monocromática$U(x,\omega) e^{-i\omega t}$, que luego se pueden sumar para dar la respuesta global al controlador.