¿Cuál es la ventaja de usar la función exponencial sobre la función trigonométrica en el análisis de ondas?

Me estoy arriesgando un poco aquí debido a su edad en su página de usuario: tenemos un teórico de cuerdas de 15 años en este sitio (que también es de su tierra natal) , así que a riesgo de parecer menospreciador, aquí hay algo Encontré realmente satisfactorio en relación con tu pregunta cuando tenía más o menos tu edad.

La diferenciación de funciones trigonométricas es complicada. Cuando diferencia un$\sin$se convierte en un$\cos$, cuando se diferencia un$\cos$se convierte en un$-\sin$. Así que tienes que derivar dos veces para que una función trigonométrica vuelva a su forma original. la segunda derivada$\mathrm{d}_t^2 f(\omega\,x)$es equivalente a multiplicar por$-\omega^2$(dónde$f$es cualquier combinación lineal de$\sin\,\omega\,t$y$\cos\,\omega\,t$), pero la primera derivada en general cambia la función a algo linealmente independiente de ella.

Por el contrario, la diferenciación de$\exp(i\,\omega t)$es equivalente a un escalado simple , lo que significa que puede simplificar mucho las operaciones que contienen derivadas de todos los órdenes, no solo de uno, como es el caso de$\sin$o$\cos$.

Todo esto es equivalente a decir que$\sin$y$\cos$cumplen ecuaciones diferenciales de segundo pero no de primer orden, mientras que$e^{\pm i\,t}$, que son combinaciones lineales especiales de$\sin$y$\cos$cumplir con los DE de primer orden. Aquí hay una forma maravillosa de pensar que para mí unificó$e^{i\,t}$,$\sin t$,$\cos t$y me justificó el campo de números complejos cuando tenía 17 años. Comenzamos pensando en la cinemática de algo que se mueve en una trayectoria alrededor del círculo unitario. Un vector de posición en este círculo es$\vec{r} = \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)$tal que$\left<\vec{r},\,\vec{r}\right>=x^2+y^2=1$. Ahora encontramos la ecuación de movimiento de un punto$\vec{r}(t) = \left(\begin{array}{c}x(t)\\y(t)\end{array}\right)$restringida al círculo está definida por${\rm d}_t \left<\vec{r},\,\vec{r}\right> = 0$, de donde$\left<{\rm d}_t \vec{r}(t),\,\vec{r}(t)\right> = 0$, de donde (con un pequeño trasteo):

$${\rm d}_t \left(\begin{array}{c}x(t)\\y(t)\end{array}\right) = v(t) \left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x(t)\\y(t)\end{array}\right)$$

dónde$v(t) = \sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$. Tomamos, por simplicidad,$v(t) = 1$de modo que inmediatamente tenemos, por la convergencia universal de la matriz exponencial, al suponer que el camino comienza en el punto$x=1,y=0$en el momento$t=0$:

$$\vec{r}(t) = \exp\left[\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)\,t\right]\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=\left(\mathrm{id} + i\,t + \frac{i^2\,t}{2!} + \frac{i^3\,t}{3!} + \cdots\right)\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)$$

donde he definido

$$i= \left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)$$

Puedes jugar con este y comprobar que este$i$tiene todas las propiedades que el "cotidiano"$i$tiene; En particular$i^2=-1$. De hecho, puedes ir un poco más allá y probar que "números" de la forma:

$$a \,\mathrm{id} + b\,i = \left(\begin{array}{cc}a&-b\\b&a\end{array}\right)$$

sume, reste, multiplique y divida exactamente como los números complejos cotidianos. El campo de matrices de la forma anterior es isomorfo al campo de números complejos. Por lo tanto, matemáticamente es indistinguible del campo de números complejos. Luego separamos partes reales (multiplicadores de la matriz identidad) y partes imaginarias (multiplicadores de la$i$matriz a definir , en este campo:

$$e^{i\,t} = \cos(t) + \sin{t}\,i$$

y esta entidad tiene la propiedad útil de que su derivada es un simple factor de escala multiplicado por la función original y obtenemos:

$$\cos(t) = \mathrm{id} - \frac{t^2}{2!}\mathrm{id}+ \frac{t^4}{4!}\mathrm{id} + \cdots$$ $$\sin(t) = \mathrm{id}\, t - \frac{t^3}{3!}\mathrm{id}+ \frac{t^5}{5!}\mathrm{id} + \cdots$$

¿Cómo se combinan estos con todos los días?$\sin$y$\cos$? Bien, calcule las coordenadas del punto que comienza en la posición$(1,0)$y verás que efectivamente son dados por el mismo$\sin$y$\cos$como se define arriba.

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"Álgebra"; Conferencia 22, Volumen 1, Las conferencias de Feynman sobre física