Prueba de un conjunto linealmente independiente compuesto de transformaciones lineales...

Tenemos$f:V\rightarrow V$tal que$v\in V$,$f^3(v) = 0$y$f^2(v) \neq 0$. Con esto, demuestre que el conjunto$S$a continuación se encuentran LI:

Mi respuesta:

Para$S$siendo LI, necesitamos probar que$\alpha = \beta = \gamma =0$:

Sé que sería posible una prueba de que es un conjunto LI si sigo aplicando la transformación$f$en la ecuación anterior, y por definición que$f^3(v) = 0$Obtendría que los escalares deben ser$0$.

Pero no hice eso en mi prueba... Esto es lo que hice (no sé si es correcto), y realmente no sé por qué pensé así...

Desde la transformación lineal$f$mapas$V$a$V$, puedo afirmar que$f^2(v) = f(f(v))$entonces el$f$compuesto con$f$va a ser una función lineal inversa, asegurando que$f$es isomorfo.

Porque es isomorfo, si consigo$v \neq 0$Voy a tener$f(v) \neq 0$ya que solo$f(0) = 0$.

Por lo tanto, debido a que es inyectiva:$\alpha = \beta = \gamma =0$

¿Cuántos puntos me darías? Esta fue una pregunta de 7 puntos.

Gracias...