Parte de probar que un conjunto es un subespacio de R3R3\mathbb{R}^3

Di que tengo el conjunto S = { X ¯ ∈ R 3 : X 1 + X 2 = 0 }

Una de las cosas que tengo que probar es que cada dos vectores en S , su suma también está en S

¿Lo siguiente prueba eso?:

Dejar a ¯ , b ¯ ∈ S

Asumir a 1 + a 2 = 0 y eso b 1 + b 2 = 0

a ¯ + b ¯ = ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 )

quiero demostrar que ( a 1 + b 1 ) + ( a 2 + b 2 ) = 0 y entonces

( a 1 + b 1 ) + ( a 2 + b 2 ) = ( a 1 + a 2 ) + ( b 1 + b 2 ) = 0 + 0 = 0

¿Prueba esto que la suma de dos vectores cualesquiera en S también está en S ? ¿O hay alguna información que me falta?... o esto es completamente incorrecto...

Sí, esto prueba perfectamente que S se cierra bajo sumatoria.
Esto es exactamente correcto, demostraste la suma de las partes para el subespacio
OK, pero te falta la propiedad por la cual ( a 1 + b 1 ) + ( a 2 + b 2 ) = ( a 1 + a 2 ) + ( b 1 + b 2 )

Respuestas (1)

Tu prueba es correcta. la redacción podría ser mejor, lo escribiría así:

suponer a ¯ , b ¯ ∈ S . Esto implica que a 1 + a 2 = b 1 + b 2 = 0 .

Ahora, ( a ¯ + b ¯ ) 1 + ( a ¯ + b ¯ ) 2 es igual ( a 1 + b 1 ) + ( a 2 + b 2 ) , por la definición de suma de vectores, y esto lo podemos reescribir como ( a 1 + a 2 ) + ( b 1 + b 2 ) = 0 + 0 = 0 . Entonces a ¯ , b ¯ ∈ S por la definición de S .

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