¿Cómo probar la equivalencia de dos definiciones diferentes de SSS-operator?

Leí que hay dos definiciones sobre S -operador :

El primero (p. ej. (8.49) en la Cuantización del campo de Greiner) es:

S F i ≡ ⟨ Ψ pag − | Ψ k + ⟩
dónde | Ψ pag − ⟩ es un estado en la imagen de Heisenberg que es | pag ⟩ en t = + ∞ cuando calculas el | Ψ pag − ⟩ en la imagen de Schrödinger, llamado estado. | Ψ k + ⟩ es un estado en la imagen de Heisenberg que es | k ⟩ en t = − ∞ , llamado en estado.

Entonces

S F i ≡ ⟨ Ψ pag − | Ψ k + ⟩ = ⟨ pag | ( Ω − ) † Ω + | k ⟩

En este caso el operador S S ^ = ( Ω − ) † Ω + , donde el operador de Møller

Ω + = límite t → − ∞ tu † ( t ) tu 0 ( t )
Ω − = límite t → + ∞ tu † ( t ) tu 0 ( t )
Entonces
S = tu I ( ∞ , − ∞ )

Otra definición (p. ej. (9.14) (9.17) (9.99) en la Cuantificación de campo de Greiner) es:

S F i ≡ ⟨ Ψ pag − | Ψ k + ⟩ ≡ ⟨ Ψ pag − | S ^ ′ | Ψ k − ⟩ = ⟨ Ψ pag + | S ^ ′ | Ψ k + ⟩
donde S-operador S ^ ′ | Ψ pag − ⟩ = | Ψ pag + ⟩ eso es S ^ ′ = Ω + ( Ω − ) † .

Parece que estas dos definiciones son diferentes, pero muchos libros de texto pueden derivar la misma fórmula de Dyson para estos dos operadores S. https://en.wikipedia.org/wiki/S-matrix#The_S-matrix

Cómo probar:

Ω + ( Ω − ) † = mi i α ( Ω − ) † Ω +

relacionado con esta pregunta: hay dos definiciones de operador S (o matriz S) en la teoría cuántica de campos. ¿Son equivalentes?

Respuestas (2)

Ofreceré una derivación, aunque puedo pasar por alto posibles sutilezas con diferentes espacios de Hilbert. En resumen, las dos definiciones producen Operadores DIFERENTES, que son solo equivalentes unitario:

Definimos los elementos de la matriz s como

S pag k = ⟨ Ψ pag − | Ψ k + ⟩

Usted mismo mostró cómo derivar la primera identidad sobre el Operador S, y también es la que da Weinberg (3.2.4):

S pag k = ⟨ Φ pag | S | Φ k ⟩
Con | Φ k > estados de una teoría libre que están relacionados con Ψ k .

Lo que pides ahora es si el mismo operador S da los mismos elementos Matrix también entre los estados -in o -out. Este no es el caso.

En su lugar, defina un operador S ~ que mapea -out estados a -in estados de la misma etiqueta:

S ~ | Ψ k − ⟩ = | Ψ k + ⟩

Entonces

⟨ Ψ pag − | S ~ | Ψ k − ⟩ = ⟨ Ψ pag − | Ψ k + ⟩ = S pag k

Entonces este operador S ~ no es el mismo operador , pero tiene los mismos elementos de matriz para otra elección de base. También me molestó hasta que me enteré, porque otros autores (por ejemplo, Peskin / Schroeder) o Schwartz) usan esta definición.

Que los operadores son diferentes se puede ver al escribirlos como combinaciones lineales de | Ψ X ⟩ y | Φ X ⟩ .

Creo que este es un tipo de resultado de regla Baker-Campbell-Hausdorff (BCH). Voy a definir los operadores

Ω ±   =   mi i β ± ,
de modo que
( Ω − ) † Ω +   =   mi − i β − mi i β +
=   ( 1   −   i β −   −   1 2 β − 2 ) ( 1   +   i β +   −   1 2 β + 2 )   +   O ( β 3 ) .
Una expresión similar se deriva de Ω + ( Ω − ) † . Entonces podemos ver fácilmente que
( Ω − ) † Ω +   =   Ω + ( Ω − ) †   +   [ β − ,   β + ] .
Por BCH nos permite escribir esto como
( Ω − ) † Ω +   =   mi [ β − ,   β + ] Ω + ( Ω − ) † .
A partir de ahí se trata de definir α   =   − i [ β − ,   β + ] .

Cómo lo sabes [ β − , β + ] es un numero?
Dudo que lo sea, además no creo que BCH sea aplicable aquí porque no creo β tiene que ser pequeño en cualquier sentido.
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