¿Cómo puede una constante cosmológica ser candidata a energía oscura si el universo es plano?

En una palabra, No: una constante cosmológica no garantiza que tu espacio no sea plano.

Toma la métrica

$$ds^2 = -dt^2 + e^{2Ht}(dx^2 + dy^2 + dz^2).$$

Este es el corte plano del espacio de De Sitter (puede encontrarlo en "SW Hawking and GFR Ellis, The large scale structure of space-time (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1973)" pág. 125 y siguientes): De Sitter el espacio se divide en dos regiones planas a lo largo de un corte diagonal.

Puede leer una buena discusión sobre esto en "Steady-State Eternal Inflation" de Anthony Aguirre y Steven Gratton ( https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0111191.pdf ). También encontrará una buena imagen allí: FIG. 1 en la página 2.

El punto es que siempre se puede ver un CC como un nuevo tipo de "campo exótico", que, entonces, se coloca en el lado derecho de EFE y, si se cancela limpiamente con el tensor de energía-estrés de la materia (en nuestro universo, parece que sí), anula la curvatura.

Este espacio-tiempo particular (el corte plano del espacio de De Sitter) fue utilizado por Hoyle y Narlikar como escenario del modelo de estado estacionario: no es geodésicamente completo, pero Aguirre y Gratton argumentan que las dos regiones planas no pueden comunicarse sin una violación de la causalidad.

En la cosmología de Friedmann, el signo de la curvatura espacial es un parámetro de modelo independiente, mientras que el signo de la curvatura del espacio-tiempo está determinado por el contenido de energía del universo (incluida la energía oscura como representante de una constante cosmológica), así como por la ecuación de estado.

Tenga en cuenta que por curvatura espacial, nos referimos a la curvatura de los hiperplanos de tiempo cosmológico constante donde la distribución de energía es homogénea (recuerde, generalmente no hay descomposición canónica de espacio/tiempo).

Al rastrear la ecuación de Einstein, la curvatura del espacio-tiempo está dada por

$$\mathrm{R} = 8\pi(1-3w)\rho$$ donde asumimos un fluido perfecto con ecuación de estado $\rho = wP$.

Obtener una expresión para la curvatura espacial es un poco más complicado ya que en realidad tendrás que calcular el tensor de Ricci, pero deberías llegar a

$${}^{(3)}\mathrm{R} = \frac{6k}{R_0^2a^2}$$ dónde $k$es un parámetro del modelo que da su signo.

En las convenciones elegidas con adimensional$k$y$a$, las ecuaciones de Friedmann deberían ser

$$\dot a^2 = \frac {8\pi}3 \rho a^2 - \frac k{R_0^2} \\ \ddot a = -\frac {4\pi}3 (1+3w) \rho a$$ donde la densidad de energía y el factor de escala están relacionados por $$\rho = \rho_0 a^{-3(1+w)}$$

Un universo dominado por la materia corresponde a$w=0$, dando$\mathrm R > 0$y$\ddot a < 0$. Para un universo dominado por radiación o partículas ultrarrelativistas, tenemos$w=1/3$y por lo tanto$\mathrm R=0$y todavía$\ddot a < 0$.

En un universo dominado por la energía oscura, la situación es un poco diferente ya que podemos tener una densidad de energía tanto positiva como negativa y su signo (correspondiente al signo de la constante cosmológica) determina directamente el signo de$\mathrm R$también$\ddot a$. Como mencionaste, esto produce espacio de Sitter y anti de Sitter respectivamente. El espacio de De Sitter se puede dividir según cualquier elección de$k$(cf Wikipedia para los cortes planos , hiperbólicos y esféricos ). Por el contrario, para una constante comológica negativa y no negativa$k$, el lado derecho de la primera ecuación de Friedmann será negativo y no encontrará soluciones con valores reales.

En conclusión: Agregar energía oscura a un universo no afectará a priori su geometría espacial, pero sí su tasa de expansión. Sin embargo, una constante cosmológica negativa dominante solo es posible para geometrías hiperbólicas.