¿Por qué la energía oscura produce una curvatura positiva del espacio-tiempo?

Una constante cosmológica positiva conduce a una curvatura escalar positiva por definición. Simplemente rastree la ecuación de Einstein y terminará con

$$R = 4\Lambda - 8\pi T$$ que es solo $$R = 4\Lambda > 0$$ en el vacío

Las preguntas implícitas, pero más interesantes, son probablemente las siguientes:

¿Por qué podemos interpretar la constante cosmológica como energía oscura?

Modelando la materia como un fluido en equilibrio , es decir

$$T_{\mu\nu} = (\rho + p) u_\mu u_\nu + p g_{\mu\nu}$$ la ecuación de Einstein dice $$R_{\mu\nu} - \frac 12 R g_{\mu\nu} = 8\pi (\rho + p) u_\mu u_\nu + (8\pi p - \Lambda) g_{\mu\nu}$$ Ahora, si queremos doblar el $\Lambda$término en los términos de la materia, requerimos $$\rho_\Lambda + p_\Lambda = 0 \\ 8\pi p_\Lambda = -\Lambda$$ cual es $$\rho_\Lambda = -p_\Lambda = \frac\Lambda{8\pi}$$ una densidad de energía positiva con presión negativa.

Tenga en cuenta que esta presión no es directamente responsable de ninguna aceleración o desaceleración de la expansión cosmológica: es uniforme en el espacio y permanece constante en el tiempo, y al carecer de gradiente, no induce ninguna fuerza. Su efecto es de naturaleza puramente gravitacional; después de todo, esta es solo la constante cosmológica disfrazada.

¿La curvatura positiva del espacio-tiempo realmente conduce a la convergencia de geodésicas paralelas?

No necesariamente debido a la firma lorentziana de la métrica. Tome el espacio 1+1 de Sitter, que se puede realizar como un hiperboloide en el espacio de Minkowski y se vería así (foto tomada de Wikimedia Commons ):

Obtenemos geodésicas de las intersecciones de planos a través del origen del espacio ambiental de Minkowski con el hiperboloide, y similares a las del tiempo de aquellas que tienen un ángulo de menos de 45° hacia el eje del tiempo.

Las líneas verticales corresponden así a geodésicas temporales y claramente no convergen.

Aquí es donde entra en juego el corte en hipersuperficies similares al espacio: en la cosmología FLRW, hay un corte preferido donde el fluido galáctico es homogéneo. En el espacio de De Sitter, no hay materia y, por lo tanto, no hay corte preferido, pero podemos usarlo para ilustrar varias características del modelo cosmológico estándar.

Los círculos horizontales, que obtenemos al cruzar una familia de planos paralelos en el espacio ambiente con el hiperboloide, corresponden a un universo espacialmente cerrado. Elegir las coordenadas apropiadas produce la métrica

$$ds^2 = -dt^2 + \alpha^2\cosh^2\left(\frac t\alpha\right)d\Omega^2$$ dónde $d\Omega$es la métrica de la esfera euclidiana y $\alpha=\sqrt{3/\Lambda}$.

Al inclinar nuestros planos, también podemos crear cortes planos con la métrica correspondiente

$$ds^2 = -dt^2 + e^{2t/\alpha}dy^2$$ y cortes abiertos con métrica $$ds^2 = -dt^2 + \alpha^2\sinh^2\left(\frac t\alpha\right)dH^2$$ dónde $dH$es la métrica del espacio hiperbólico euclidiano.

Si bien las geodésicas similares a la luz que se muestran arriba, que corresponden a partículas en reposo en el caso del corte cerrado, divergen, la curvatura espacial determinará lo que sucede con las partículas en movimiento paralelo a través del espacio. Sin embargo, esto no es algo que pueda mostrarse en nuestra imagen de un espacio-tiempo 1+1.

¿Cómo resulta esto en una expansión acelerada del universo?

Al observar la parte espacial de las métricas, los tres cortes conducen en última instancia a una expansión exponencial del espacio que, en el caso de un universo de De Sitter, es solo una cuestión de geometría. Sin embargo, en el caso cerrado, la expansión acelerada ocurre solo después de un colapso desacelerado a un tamaño mínimo determinado por el valor de la constante cosmológica.

En los modelos de Friedmann, siempre que la constante cosmológica domine el contenido de materia, eventualmente nos acercaremos a la geometría de De Sitter y, por lo tanto, también a la expansión exponencial.

Esto es realmente un comentario, pero se hizo un poco largo para el cuadro de comentarios. Es un comentario porque tenía la intención de salir e investigar esto correctamente, pero no pude encontrar el tiempo (y probablemente nunca lo haga). Así que publicaré mis pensamientos iniciales, pero trátelos como sugerencias de cosas para ver en lugar de una respuesta definitiva.

Cuando dice que también entiendo que las geodésicas paralelas convergen cuando la curvatura es positiva , apuesto a que tiene una imagen mental de 2 esferas (disculpe si lo estoy difamando, pero esta es definitivamente mi imagen mental inmediata de curvatura positiva). La cuestión es que la 2-esfera es una variedad de Riemann, es decir, la métrica es definida positiva. Por el contrario, las variedades que usamos en relatividad son pseudo-riemannianas, es decir, la métrica no es definida positiva y, de hecho, tiene la firma (-+++) o (+---) dependiendo de su convención preferida. Esto es importante porque la curvatura escalar es:

$$R = g^{\alpha\beta} R_{\alpha\beta}$$

Entonces, la curvatura escalar positiva del espacio de De Sitter no significa que sea como una esfera. Lo sería si la métrica es definida positiva, pero no lo es.