Dejar Sea una matriz cuadrada tal que su entrada superior izquierda, a saber , es muy grande (en valor absoluto) en comparación con el resto de las entradas. Es mi intuición que debe tener un valor propio muy cercano a . ¿Bajo qué condiciones se puede garantizar esto?
Planteo esta pregunta sin restricciones en las entradas de , para explorar lo que se puede decir en diferentes casos. En mi caso particular, me interesa el caso cuando es complejo simétrico (no hermitiano).
He intentado usar el teorema del círculo de Gershgorin, pero no puede garantizar que el círculo correspondiente a no está vacío. (El teorema garantiza que cada valor propio debe estar dentro de al menos un círculo, pero no que cada círculo contenga al menos un valor propio).
Una versión reforzada del teorema del círculo de Gershgorin garantiza que si los círculos se agrupan en grupos disjuntos, el número de valores propios en cada grupo es igual al número de discos que hay. La demostración es la siguiente: sea , y . Definir e imagina aumentar de 0 a 1, haciendo un seguimiento de los discos de Gershgorin en cada momento. entonces los discos son puntos y cada valor propio está en cada punto; creciente aumenta los radios de los discos proporcionalmente. Trate de convencerse de que cada valor propio de , como raíz de un polinomio mónico con coeficientes continuos en , es también una función continua de (especialmente considerando multiplicidades). Luego, cada valor propio debe permanecer en cada disco en expansión, hasta que quizás algunos de los discos se unan, en cuyo caso los valores propios pueden moverse libremente dentro del grupo pero NO pueden saltar fuera a otro grupo. Así tenemos el resultado deseado en : cada grupo de los discos deben contener autovalores, contando multiplicidad.
Finalmente, para su pregunta, dado que el disco centrado en estará muy lejos en de los otros discos (y tienen un radio mucho menor que la distancia), tendrá que contener exactamente un valor propio, el que comenzó como mismo cuando .
León